Contrôle des EDP et applications

Modélisation et contrôle de systèmes quantiques.

Résumé :

Ce cours porte sur le contrôle de systèmes physiques gouvernés par les lois de la mécanique quantique. Le contrôle quantique est un domaine émergent de recherches, domaine lié aux technologies qui sous-tendent l'information quantique, le calculateur quantique, les circuits quantiques, les boites quantiques, le contrôle de molécules pour la chimie quantique, la physique des lasers et la métrologie de grande précision, ... Ce cours présente plusieurs notions issues de la théorie mathématique des systèmes et utiles pour la modélisation et le contrôle des systèmes quantiques considérés par les physiciens.

Le cours aura lieu à l'IHP les lundi 4, 11, 25 octobre, 22, 29 novembre, 6, 13 décembre, et le mardi 14 décembre 2010 : de 14h à 17h.
Salle: voir calendrier.

Voir aussi page web: http://cas.ensmp.fr/~rouchon/QuantumSyst/index.html

Plan

Introduction reposant sur la boite à photons du LKB (LKB pour "Laboratoire Kastler-Brossel" de l'Ecole Normale Supérieure).
- Systèmes fermés: oscillateur harmonique quantique, photons et équation de Schrödinger.
- Systèmes ouverts: absorption par les miroirs et décohérence due à l'environnement, mesure non destructive des photons par des atomes et la réduction du paquet d'ondes.
- Contrôle: commandabilité, contrôle en boucle ouverte et préparation d'états quantiques, estimation de paramètres et d'états quantiques, feedback et stabilisation.
Systèmes quantiques fermés
- Modélisation
  - Equation de Schrödinger de dimension finie: systèmes à deux niveaux (spin-1/2), matrices de Pauli et vecteur de Bloch, approximation du champ tournant et oscillations de Rabi, moyennisation et approximation du second ordre (correction de Bloch-Siegert et transition Raman), approximation adiabatique, produit tensoriel et systèmes composites.
  - Equation de Schrödinger de dimension infinie: oscillateur harmonique quantique, systèmes de type spin-ressort et modèles à la Jaynes-Cummings, ions piégés, particule dans une boite mobile.
- Contrôle
  - Commandabilité et planification de trajectoires pour les systèmes de dimension finie: algèbre de Lie de commandabilité, préparation d'états quantiques par le contrôle optimal, le contrôle Lyapounov et la recherche d'extremum.
  - Commandabilité et planification de trajectoires pour les systèmes de dimension infinie: oscillateur harmonique quantique, méthode de Law-Eberly pour les systèmes de type spin-ressort et les ions piégés, particule dans une boite mobile, EDP de Schrödinger avec un spectre discret, commandabilité d'ensemble et robuste paramétrique des contrôles en boucle ouverte.
Systèmes quantiques ouverts
- Modélisation
  - Systèmes en temps discret: mesures projectives et POVM, chaînes de Markov et trajectoires quantiques de Monte-Carlo, applications de Kraus et canaux quantiques, la boite à photons du LKB (atomes résonnants et non résonnants avec la cavité).
  - Systèmes en temps continu: approximation de Markov et émission spontanée, ensemble statistique et équations différentielles matrices de Lindblad, systèmes en \Lambda et en V, comptage de photons et détection homodyne.
- Contrôle
  - Systèmes en temps discret: contraction des applications de Kraus, estimation d'état et filtres quantiques, contrôle Lyapunov pour la boite à photons du LKB avec compensation du retard.
  - Systèmes en temps continu: contraction des équations de Lindbald, systèmes lents/rapides et approximation quasi-statique, estimation d'état et filtres quantiques, feedback de sortie en temps-réel et estimation de "detuning".

Références

D. D'Alessandro. Introduction to Quantum Control and Dynamics. Chapman & Hall/CRC, 2008.
S. Haroche and J.M. Raimond. Exploring the Quantum: Atoms, Cavities and Photons. Oxford University Press, 2006.
M.A. Nielsen and I.L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2000.

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