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| Equations aux dérivées partielles: contrôle et aspects numériques. |
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| Enrique Zuazua |
| Dans
ce cours on s'intéresse à la modélisation, l'analyse, les simulations
numériques et le contrôle des équations aux dérivées partielles (EDP)
apparaissant dans différents contextes des Sciences et Technologies. En gros, le problème de contrôlabilité que l'on discute est le suivant: déterminer s'il est possible, à l'aide d'un contrôle adapté (et réalisable !), de guider la solution vers une configuration finale désirée (ou bien, vers une configuration proche). Ce problème peut être précisé de plusieurs manières: a) par exemple, on peut analyser les propriétés de contrôle des projections des solutions dans certaines bandes de fréquences; b) on peut s'intéresser au problème de contrôlabilité exacte, dans lequel on s'intéresse à contrôler la solution entière; c) on peut s'intéresser au problème de contrôlabilité approchée, problème dans lequel on relaxe la contrainte de point final pour atteindre un voisinage epsilon de la cible. Le choix du problème de contrôle approprié fait partie du travail de modélisation qui doit être fait au préalable pour rendre les résultats applicables dans la pratique. En théorie du contrôle, il est standard d'aborder ces problèmes de manière duale. La notion duale de la contrôlabilité est l'observabilité, qui concerne la possibilité de mesurer ou d'observer, par des capteurs appropriés, toute la dynamique du système par des mesures partielles effectuées sur une région adaptée au contrôle. Ce problème est pertinent pour les applications du contrôle mais aussi dans d'autres contextes comme les problèmes inverses et d'identification. Encore une fois, il y a différents degrés d'observabilité et cela est particulièrement important dans les problèmes qui sont véritablement en dimension infinie et que nous considérons. La question d'observabilité la plus élémentaire est la suivante: est-ce que le système possède des vibrations localisées qui peuvent échapper à la région ou les capteurs sont placés ? Si la réponse est oui, alors on peut immédiatement conclure que la propriété d'observabilité n'a pas lieu. Plusieurs raisons peuvent expliquer l'existence de solutions localisées : a) des raisons géométriques : par exemple, si les domaines comportent des trous, des microvibrations peuvent se produire lorsque des ondes sont piégées entre plusieurs trous; b) lorsque le système considéré a plusieurs composantes (thermo-élasticité, déformations longitudinales+transversales, multi-structures) ce phénomène peut arriver naturellement lorsque l'énergie se concentre sur une seule composante de l'état dans des vibrations à haute fréquence; c) dans le contexte d'approximations numériques, des résonances peuvent se produire, conséquences de l'interaction des solutions avec le maillage. Dans cette série de cours, on fait le point sur les travaux les plus importants ayant été menés sur le sujet récemment. On décrit d'abord en détails les applications les plus pertinentes dans les domaines des Sciences, Ingénierie et Technologies, dans lesquelles ces phénomènes arrivent. Ensuite, on décrit la théorie de base pour les équations des ondes et de la chaleur, pour ensuite s'intéresser à des modèles plus compliqués, couplés, comme le système de thermoélasticité, en suivant la présentation de [Z2]. Selon [DZ], on analyse ces problèmes pour des réseaux de ressorts et poutres flexibles, et, en particulier, on montre comment la géométrie du réseau et les longueurs mutuelles des différents ressorts/poutres peuvent influer sur les propriétés de contrôlabilité et d'observabilité du système. Ensuite, on s'intéresse au problème des approximations numériques d'EDP contrôlées, en suivant [Z1]. Pour commencer, on montre que le contrôle d'un procédé et son approximation numérique sont deux opérations qui ne commutent pas. Ainsi, en général, lorsqu'on veut contrôler une approximation de dimension finie d'un modèle continu, on ne calcule pas nécessairement une approximation du contrôle que l'on cherche. On décrit plusieurs remèdes à ces pathologies : discrétisations spatiales adaptées, damping numérique, filtrage des hautes fréquences, algorithmes multi-grilles, etc. Sur le plan numérique, les faits précédents ont un impact très important. En effet, les schémas d'approximation numérique peuvent aussi être utilisés comme modèles discrets. Notre analyse montre que ces deux approches de modélisation conduisent à des résultats différents du point de vue du contrôle théorique, et cela doit être pris en compte. Enfin, suivant [CPZ] et [Z3], on présente la méthode de descente alternée et la stratégie de commutation qui sont des manières naturelles et efficaces d'adapter des stratégies de splitting pour le contrôle de systèmes multiphysiques. Pour conclure, on présente une liste de problèmes ouverts et de possibles directions de recherches futures. |
| 1.- Introduction au contrôle de systèmes de dimension finie: la condition de Kalman. 2.- Contrôle et observation de l'équation des ondes. 3.- Contrôle et observation de l'équation de la chaleur. 4.- Contrôle de systèmes multiphysiques. 5.- Contrôle des ondes sur des réseaux. 6.- Approximation numériques des problèmes de contrôle et d'observabilité. 7.- Méthode de descente alternée et stratégies de commutation. 8.- Problèmes ouverts et directions de recherches futures. |
| [CPZ]
C. Castro, F. Palacios and E. Zuazua, An alternating descent method
for the optimal control of the inviscid Burgers equation in the
presence of shocks, M3AS, 18 (3) (2008), 369-416. Pdf file. [DZ] R. Dáger and E. Zuazua, Wave propagation and control in 1-d vibrating multi-structures, Springer Verlag, Mathématiques et Applications, vol. 50, 2006. [Z1] E. Zuazua, Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods, SIAM Review, 47 (2) (2005), 197-243. Pdf file. [Z2] E. Zuazua, Controllability and Observability of Partial Differential Equations: Some results and open problems, in Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, vol. 3, C. M. Dafermos and E. Feireisl eds., Elsevier Science, 2006, pp. 527-621. Pdf file. [Z3] E. Zuazua, Switching control, J. European Math. Soc., to appear. Pdf file. |