ARBRES ALEATOIRES CONTINUS ET APPLICATIONS
Les arbres aléatoires continus font l'objet d'une recherche
extrèmement active actuellement du fait de leurs nombreuses
applications. Nous voulons étudier dans ce projet
différents aspects de ces arbres aléatoires :
- Processus à valeurs arbres continus et marches aléatoires sur des arbres aléatoires
Nous voulons définir des processus à valeurs arbres qui seraient les équivalents continus des marches aléatoires à valeurs arbres discrets étudiées par Aldous-Pitman. Ces processus permettraient de donner une nouvelle définition des arbres continus, comme arbres limites de ces processus.
Une fa&ccdil;on d'étudier la régularité des arbres
continus est de considérer des marches aléatoires sur
les approximations discrètes des arbres continus. Cette
approche a déjà donné des résultats
intéressants et nous voulons poursuivre cette étude.
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Fragmentation
Les processus de fragmentation modélisent des masses qui se disloquent au cours du temps, avec de nombreuses applications en physique, en biologie et en informatique. Certains de ces processus sont obtenus en fragmentant aléatoirement des arbres continus. Cette construction est très riche et nous espérons obtenir des résultats intéressants sur ces fragmentations à l'aide de l'étude des arbres continus.
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Graphes planaires
Les graphes aléatoires ont maintenant de nombreuses applications en physique ou en informatique. Ce projet a pour but d'étudier le comportement asymptotique de ces graphes lorsque leur taille tend vers l'infini, en définissant en particulier les objets limites qui sont des "graphes continus".
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Percolation
Nous savons que l'amas infini de percolation en grande dimension
converge, après renormalisation, vers l'excursion
super-brownienne normalisée (ISE) qui est très
liée aux arbres continus. Nous espérons que les
études sur les arbres continus permettront d'obtenir des
renseignements sur l'évolution de cet amas infini losque la
probabilité de percolation est proche de la valeur critique.