http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF0.html
Département de Mathématiques
Licence de Mathématiques
UE SCL5MT01 - Analyse fonctionnelle
Président de jury:
Pierre JULG
Secrétariat:
Christelle MORILLON
Directeurs d'études:
MT, MA: Sandrine GRELLIER
MASE, MIASL: Yves DENIZEAU
Calendrier 2006-2007 de l'UFR Sciences
Emplois du temps du semestre 5:
Math, MIASE & MIASL

Semestre 1, 2006-2007 En construction
Triangle (gasket) de Sierpinski


  • Cours (36h): lundi 13h30-15h15, S104 & mardi 10h15-12h, AmphiS
    Enseignant: Jean-Philippe ANKER
    Le cours du lundi sera généralement consacré à l'intégration et le cours du mardi à la topologie
    Changements:
    • Séances supprimées: mardi 12 septembre, mardi 5 décembre, lundi 18 décembre, mardi 19 décembre
  • TD (74h) groupe 1: mercredi 9h-12h15, E05 & jeudi 9h-12h15, Amphi3
    Enseignant: Michel BAILLET
  • TD (74h) groupe 2: lundi 15h30-17h30, S209 & mercredi 15h45-18h15, E04 & jeudi 8h-9h30, S209
    Enseignants: Jean-Philippe ANKER, Bruno SCHAPIRA
    Changements:
    • Salles: Les TD du lundi sont déplacés
      • en salle E13 le 9 octobre
      • en salle S306 le 16 octobre et le 23 octobre
      • en salle E03 en novembre et en décembre
    • Séances supprimées: jeudi 14 septembre, mercredi 8 novembre, jeudi 7 décembre, lundi 18 décembre, mercredi 20 décembre, jeudi 21 décembre
    • Séances supplémentaires: mardi 12 septembre; mercredi 20 décembre, 10h-12h, S207
  • Révisions:
    • mercredi 20 décembre, 14h-17h, E05
    • jeudi 4 janvier, 13h30-17h30, E05
  • Examens:
    • partiel: jeudi 9 novembre, 13h30-17h30, AmphiS
    • final: mardi 9 janvier, 8h-12h, Amphi4
    • oral de rattrapage : sur RDV
      • lundi 15 janvier, 10h-12h30
      • mardi 16 janvier, 8h-11h30
      • mercredi 17 janvier, 8h-17h00
    • seconde session: lundi 18 juin, 8h30-12h30, S104


Contenu:
Ce cours résulte de la fusion des cours MA5.01 - topologie et MA5.02 - intégration de l'ancienne licence


Préliminaires
  • Rappels ensemblistes
  • Dénombrabilité
  • La droite réelle R
    • Propriétés caractéristiques de R, axiome de la borne supérieure
    • Densité des nombres (ir)rationnels

Topologie
  • I. Espaces métriques
    • 1. Distances, normes
    • 2. Suites
    • 3. Zoologie topologique
      (boules, ouverts, fermés, voisinages, intérieur, adhérence, frontière, ... )
    • 4. Continuité et continuité uniforme
  • II. Espaces métriques complets
    • 1. Définitions
    • 2. Théorème du point fixe
    • 3. Prolongement par continuité, complété
  • III. Espaces métriques compacts
    • 1. Définitions équivalentes de la compacité
    • 2. Propriétés
  • IV. Espaces de Banach et espaces de Hilbert, applications linéaires continues, exemples
    • 1. Généraliés sur les espaces de Banach
    • 2. Espaces de dimension finie
    • 3. Applications linéaires continues
    • 4. Exemple:
      L'algèbre C(X) des fonctions continues sur un compact,
      théorèmes de Stone-Weierstrass et d'Ascoli-Arzela
    • 5. Espaces de Hilbert

Intégration
  • I. Révision de l'intégrale de Riemann et des intégrales généralisées
    • 1. Définition de l'intégrale de Riemann
      • a. Sommes de Darboux
      • b. Sommes de Riemann
      • c. Fonctions intégrables au sens de Riemann
    • 2. Propriétés de l'intégrale de Riemann
      • a. Linéarité
      • b. Positivité
      • c. Formule de la moyenne
      • d. Primitives
      • e. Intégration par parties
      • f. Changement de variables
    • 3. Limites, intégrales et dérivées
      • a. Cas discret: suites de fonctions
      • b. Cas continu: intégrales dépendant d'un paramètre réel
    • 4. Intégrales généralisées
      • a. Définitions, exemples
      • b. Fonctions positives
      • c. Convergence absolue, critère d'Abel
  • II. Initiation à l'intégrale de Lebesgue
    • 0. Introduction
    • 1. Tribus
    • 2. Mesurabilité
    • 3. Mesures positives
      • a. Généralités
      • b. Mesure image
      • c. Théorème d'unicité
      • d. Mesure de Lebesgue sur R et mesure produit
    • 4. Construction et propriétés de l'intégrale de Lebesgue
      • a. Intégration des fonctions étagées
      • b. Intégration des fonctions positives
      • c. Intégration des fonctions réelles
      • d. Intégration des fonctions complexes
      • e. Théorèmes de convergence
      • f. Ensembles négligeables
      • g. Relation avec l'intégrale de Riemann
      • h. Intégrales dépendant d'un paramètre
    • 5. Intégrales multiples, théorèmes de Fubini
    • 6. Changement de variables dans les intégrales multiples

Conclusion
    Espaces Lp(X, A, µ)
    • Cas discret: l1(N), l2(N), l∞(N),
    • Cas continu: L1(Rn), L2(Rn), L∞(Rn)


Documents disponibles:

  • Résumés de cours:
    Préliminaires (pdf)
    Intégration
    • Intégrale de Riemann & intégrales généralisées (pdf)
    • Intégrale de Lebesgue (pdf)
      • Mesurabilité
      • Mesures (pdf)
      • Construction et propriétés de l'intégrale (pdf)
      • Intégrales multiples (pdf)
      • Changements de variables (pdf)
    Topologie
    • Espaces métriques (pdf)
    • Espaces complets (pdf)
    • Espaces compacts (pdf)
    • Espaces de Banach et espaces de Hilbert, applications linéaires continues, exemples (pdf)
    Conclusion: Espaces lp et Lp
  • Feuilles d'exercices:
    1. Préliminaires (pdf)
    2. Intégrale de Riemann (pdf)
    3. Espaces métriques (pdf)
    4. Tribus (pdf)
    5. Espaces complets (pdf)
    6. Mesurabilité (pdf)
    7. Mesures (pdf)
    8. Espaces compacts (pdf)
    9. Espaces de Banach et de Hilbert, applications linéaires continues (pdf)
    10. Intégrale de Lebesgue (pdf)
    11. Intégrales multiples, changements de variables (pdf)
  • Sujets d'examens écrits:
    novembre 2006 (pdf), janvier 2007 (pdf), juin 2007 (pdf)
  • Archives: Sujets d'examens écrits
    • Topologie: décembre 2002 (pdf), juin 2003 (pdf), décembre 2003 (pdf), juin 2004 (pdf)
    • Intégration: décembre 2001 (pdf), juin 2002 (pdf), décembre 2002 (pdf), juin 2003 (pdf), décembre 2003 (pdf), juin 2004 (pdf)
    • Analyse fonctionnelle: novembre 2004 (pdf), janvier 2005 (pdf), juin 2005 (pdf) novembre 2005 (pdf), janvier 2006 (pdf), juin 2006 (pdf)



Dernière mise à jour: vendredi 31 août 2007