Master MA Orléans-Tours
Année académique 2015-2016

Orléans Tours
Plans des campus pdf jpg
Calendriers universitaires pdf pdf
Emplois du temps M1/S1 , M1/S2 M1/S1 , M1/S2
M2/S1 , M2/S2 , Prépa Agrég
Responsables
Master MA & Prépa Agrég
Jean-Philippe Anker
& Luc Hillairet
Emmanuel Humbert
& Christine Georgelin
Secrétariats Anne Liger Anouchka Lepine



M1 Orléans Tours
S1 Algèbre 1
Analyse fonctionnelle 1
Analyse complexe Analyse complexe
Probabilités Probabilités 1
Anglais Anglais
S2 Algèbre 2
Analyse fonctionnelle 2
Géométrie Analyse numérique des EDP
Anglais Probabilités 2
Stage/Mémoire Stage/Mémoire

M2 & Prépa Agrég Orléans
S1 Compléments d'algèbre et de géométrie   Groupes & actions de groupes
  Algèbre bilinéaire & formes quadratiques
Compléments d'analyse   Convexité
  Méthodes de points fixes
Analyse 1   Analyse et géométrie spectrale 1
  Différentiel3
Modélisation 1   Probabilités 1
  Méthodes numériques
Anglais
S2 Algèbre 2   Théorie des représentations
  A préciser
Analyse 2   Analyse et géométrie spectrale 2
  Probabilités 2
Stage/Mémoire



Enseignements de M1 :
  • Algèbre 1 (Cours en visioconférence depuis Tours, TD sur chaque site ; à Tours, enseignement mutualisé avec le parcours MEEF)
    • Descriptif : Arithmétique sur Z et ses généralisations. Fonctions arithmétiques, système de cryptage RSA, anneaux de polynômes, racines de l'unité, polynômes cyclotomiques et applications. Théorème de structure de U(Z/nZ). Résidus mièmes modulo n, résidus quadratiques et entiers sommes de deux carrés.
    • Références :
  • Algèbre 2 (Cours en visioconférence depuis Tours, TD sur chaque site)
    • Descriptif : Arithmétique de polynômes. Anneaux factoriels, racines, extensions algébriques. Corps finis. Construction à la règle et au compas. Polygones réguliers. Extensions normales et séparables, théorème de correspondance de Galois. Résultant, discriminant.
    • Références :
  • Analyse complexe
    • Descriptif : Séries entières complexes, exemples (exponentielle, fonctions circulaires, ... ). Fonctions holomorphes, conditions de Cauchy-Riemann, intégrales curvilignes dans C, formule de Cauchy et ses conséquences, prolongement analytique, principe du maximum. Fonctions méromorphes, théorème des résidus, exemples. Suites et séries de fonctions holomorphes. Fonctions gamma et zêta.
    • Références :
      • E. Amar & E. Matheron, Analyse complexe, Cassini (2003)
      • W. Rudin, Analyse réelle et complexe (cours et exercices), Dunod (2009)
  • Analyse fonctionnelle 1 (Cours en visioconférence depuis Orléans, TD sur chaque site)
    • Descriptif : Espaces de Banach (normes, suites et séries convergentes, compacité de la boule-unité en dimension finie, applications linéaires continues, prolongement par continuité, dual topologique). Espaces de Hilbert (théorème de la projection orthogonale, bases hilbertiennes). Séries de Fourier (identité de Parseval, théorèmes de Dirichlet et de Féjer). Espaces de fonctions continues (théorème d'Ascoli, théorème de Stone-Weierstrass). Espaces lp et Lp.
    • Références : Notes de cours (chapitres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
  • Analyse fonctionnelle 2 (Cours en visioconférence depuis Orléans, TD sur chaque site)
    • Descriptif :
      • Le théorème de Baire et ses conséquences : théorème de la borne uniforme de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte de Banach, théorème du graphe fermé.
      • Le théorème de Hahn-Banach (sans démonstration), dualité, application transposée, topologies faible et préfaible, compacité préfaible de la boule-unité dans le cas séparable.
      • Espace de Schwartz. Convolution et transformation de Fourier dans le cadre de l'espace de Schwartz, puis des espaces L1, L2, L, C0.
      • Distributions tempérées. Dérivation et transformation de Fourier dans ce cadre. Introduction aux espaces de Sobolev.
      • Solutions fondamentales de quelques EDP (Laplace, chaleur, ondes).
  • Analyse numérique des EDP (Tours)
    • Descriptif : Equations de transport, méthode des caractéristiques. Equation de Poisson en dimension 1 (propriétés théoriques et résolution numérique par la méthode des différences finies). Preuve de la convergence et lien avec l'ordre du schéma.
  • Probabilités (Enseignement mutualisé entre les parcours MA, SPMA et TI à Orléans)
    • Descriptif : Convergences (divers modes de convergence, p.s., en probabilité, dans Lp, en loi, lien entre ces convergences, loi des grands nombres, théorème central limite). Espérance conditionnelle (cas discret, à densité, conditionnement par rapport à une tribu dans le cas général). Chaîne de Markov à espace d'états fini ou dénombrable (classification des états, probabilités stationnaires, théorèmes limites).
    • Références :
      • Philippe Barbe & Michel Ledoux, Probabilité, EDP Sciences (2007)
      • Jean-Yves Ouvrard, Probabilités Tome 1 (Licence - CAPES), Cassini (2008)
      • Jean-Yves Ouvrard, Probabilités Tome 2 (Master - Agrégation), Cassini (2009)
  • Probabilités 1 (Enseignement mutualisé avec le parcours MEEF à Tours)
    • Descriptif : Introduction au calcul des probabilités. Variables et vecteurs aléatoires, lois usuelles. Suite de variables aléatoires. Conditionnement et indépendance, fonctions génératrices. Convergences. Lois des grands nombres, théorème central limite et intervalles de confiance.
    • féférences :
      • Philippe Barbe & Michel Ledoux, Probabilité, EDP Sciences (2007)
      • Jean-Yves Ouvrard, Probabilités Tome 1 (Licence - CAPES), Cassini (2008)
  • Probabilités 2 (Tours)
    • Descriptif :
      • Chaînes de Markov finies ou dénombrables (classification des états et convergence vers l'état stationnaire).
      • Exemples classiques : files d'attente, processus de Poisson, processus de vie ou de mort, processus de Galton-Watson, ...
      • Introduction aux statistiques. Modèles statistiques, notion d'estimateurs. Test entre hypothèses simples. Ré.gion de confiance. Panorama de tests classiques.



Enseignements de M2 :
  • Convexité
    • Descriptif :
      • Définition, propriétés élémentaires, inégalités de Hölder et de Minkowski (applications aux espaces lp et Lp)
      • Continuité et convexité (cas des variables réelles et cas des fonctions définies dans les Hilbert), semi-continuité
      • Différentiabilité et convexité (cas des variables réelles et cas des fonctions définies dans les Hilbert), caractérisation de la convexité, théorème de Rademacher, sous-différentiabilité
      • Un peu de géométrie (cônes polaires, tangents), défaut de différentiabilité (coins)
      • Application à l'optimisation convexe (existence et unicité de solutions d'un problème d'extremum avec contraintes), conditions d'optimalité nécessaires et suffisantes
      • Projection sur un convexe, théorème de Lax-Milgram, extrema liés, multiplicateurs de Lagrange
      • Dualité de Fenchel-Legendre, théorème de Rockafellar (qui utilise le théorème de Hahn-Banach)
      • Suppléments d'analyse fonctionnelle (convexité et convergence faible, théorème de Hahn-Banach, minimisation dans les espaces de Banach réflexifs, analyse non lisse)
    • Références :
      • D. Azé, Eléments d'analyse convexe et variationnelle, Ellipses (1997)
      • M. Bergounioux, Optimisation dans Rn et introduction au contrôle optimal des systèmes linéaires, Dunod (2001)
      • M. Bergounioux, Introduction au traitement mathématique des images (méthodes déterministes), Springer-Verlag (2015)
      • H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson (1987)
      • H. Cartan, Cours de calcul différentiel, Hermann (1977)
      • P.G. Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, Masson (1988)
      • I. Ekeland & R. Temam, Analyse convexe et problèmes variationnels, Dunod / Gauthier-Villars (1974)
  • Groupes et actions de groupes
    • Descriptif :
      • Révisions sur les groupes, outils de base : théorème de Lagrange, sous-groupe, sous-groupe distingué, classe modulo un sous-groupe, ordre d'un élément, groupe cyclique, Un, sous-goupes d'un groupe cyclique, produit direct, théorèmes d'isomorphismes.
      • Groupe opérant sur un ensemble, applications, théorème de Cauchy, p-sous-groupe, théorème de Sylow.
      • Groupe symétrique, simplicité de An, classes de conjugaison.
      • Groupe linéaire, générateurs et applications (Burnside, Brauer). Le cas des corps finis.
      • Produit semi-direct, groupes diédraux, autres applications géométriques.
      • Groupes de petit cardinal, groupes de cardinaux pq, p2 et p3.
      • Groupes dérivés, groupe résolubles.
      • Groupe orthogonal, sous-groupes finis de SO(2) et de SO(3).
      • Théorème de structure des groupes abéliens finis.
    • Références :
      • François Combes, Algèbre et géométrie, Bréal (1998)
      • Michel Cognet & Marc Zeitoun, Algèbre linéaire, Bréal (2000)
      • Michel Demazure, Cours d'algèbre (primalité, divisibilité, codes), Cassini (1997, 2008/2009)
      • Daniel Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses (1996)
  • Méthodes de points fixes
    • Descriptif :
      • Théorèmes de points fixes : Banach, Brouwer (démonstration en dimension 1), Schauder (sans démonstration), Markov-Kakutani (sans démonstration)
      • Suites définies par récurrence
      • EDO
      • Théorème des fonctions implicites, théorème d'inversion locale (applications traitées dans la demi-unité Différentiel3)
      • Théorème de Perron-Frobenius & applications
  • Théorie des représentations
    • Descriptif : Généralités sur les représentations linéaires de dimension finie d'un groupe fini. Théorie des caractères. Dual d'un groupe abélien fini, réciprocité quadratique. Restriction et induction de représentations, réciprocité de Frobenius. Représentations du groupe symétrique : tableaux de Young, caractères, quelques formules combinatoires.

Archives d'années antérieures :
  • Distributions tempérées et solutions fondamentales d'EDP (Analyse 2 & EDP 2)
  • Introduction à l'étude des EDP elliptiques (Analyse 2 & EDP 2)
  • Martingales et calcul stochastique (Probabilités 1)



Retour à la page d'accueil du master MA