Université d'Orléans

Master 2 Recherche de Mathématiques, 2011-12

Martingales et calcul stochastique

Lundi, 10h00-12h00, salle L10
Premier cours le 19/9

Polycopié [PDF]

Partie I. Processus en temps discret

1. Exemples de processus stochastiques

• 1.1. Variables aléatoires i.i.d.
• 1.2. Marches aléatoires et chaînes de Markov
• 1.3. Urnes de Polya
• 1.4. Le processus de Galton–Watson
• 1.5. Marches aléatoires auto-évitantes
• 1.6. Sytèmes dynamiques

2. Construction générale d'un processus

• 2.1. Préliminaires et rappels
• 2.2. Distributions de dimension finie
• 2.3. Noyaux markoviens
• 2.4. Le théorème de Ionescu–Tulcea

3. Filtrations, espérances conditionnelles

• 3.1. Sous-tribus et filtrations
• 3.2. Espérance conditionnelle
• 3.3. Exercices

4. Martingales

• 4.1. Définitions et exemples
• 4.2. Inégalités
• 4.3. Décomposition de Doob, processus croissant
• 4.4. Exercices

5. Temps d'arrêt

• 5.1. Définition et exemples
• 5.2. Processus arrêté, inégalité de Doob
• 5.3. Exercices

6. Théorèmes de convergence

• 6.1. Rappel: Notions de convergence
• 6.2. Convergence presque sûre
• 6.3. Convergence dans L^p, p>1
• 6.4. Convergence dans L¹
• 6.5. Loi 0-1 de Lévy
• 6.6. Exercices

Partie II. Processus en temps continu

7. Le mouvement Brownien

• 7.1. Limite d'échelle d'une marche aléatoire
• 7.2. Construction du mouvement Brownien
• 7.3. Propriétés de base
• 7.4. Temps d'arrêt
• 7.5. Mouvement Brownien et martingales
• 7.6. Exercices

8. L'intégrale d'Itô

• 8.1. Définition
• 8.2. Propriétés élémentaires
• 8.3. Un exemple
• 8.4. La formule d'Itô
• 8.5. Exercices

9. Equations différentielles stochastiques

• 9.1. Solutions fortes
• 9.2. Existence et unicité de solutions
• 9.3. Exercices

10. Diffusions

• 10.1. La propriété de Markov
• 10.2. Semigroupes et générateurs
• 10.3. La formule de Dynkin
• 10.4. Les équations de Kolmogorov
• 10.5. La formule de Feynman–Kac
• 10.5. Exercices

Corrigés d'exercices

• Exercices du chapitre 3: Espérances conditionnelles [PDF]
• Exercices du chapitre 4: Martingales [PDF]
• Exercices du chapitre 5: Temps d'arrêt [PDF]
• Exercices du chapitre 6: Théorèmes de convergence [PDF]
• Exercices du chapitre 7: Mouvement Brownien [PDF]
• Exercices du chapitre 8: Intégrale d'Itô [PDF]
• Exercices du chapitre 9: Equations différentielles stochastiques [PDF]
• Exercices du chapitre 10: Diffusions [PDF]

Examens

• Examen du 17 janvier 2012 [PDF] — Corrigé [PDF]
• Examen du 20 janvier 2011 [PDF]
• Examen du 6 janvier 2010 [PDF]
• Examen du 20 janvier 2009 [PDF]

Home