Mes thèmes de recherche tournent autour de la modélisation et de la résolution de problêmes de contrôle optimal avec une emphase particulière sur la résolution numérique.

Projets en cours

A ce jour (octobre 2015), mes projets de recherche portent sur :

Aérospatiale

Avec Emmanuel Télat, nous nous proposons de mettre au point une nouvelle méthode de résolution du probléme classique de transfert orbital autour de la Terre à poussée forte. L'idée est d'employer une méthode de tir simple dont l'originalité repose sur la construction de l'initialisastion. Cette initialisation est fondée sur une preuve rigoureuse du fait que la limite du transfert continu, lorsque la poussée maximum tend vers l'infini, est équivalent à un problème de transfert orbital impulsionnel. Des considérations sur l'interprétation géométrique de ce que représentent les inconnues de la méthodes de tir nous permettent alors de les estimer fidèlement.

Toujours avec Emmanuel Télat, nous encadrons les travaux de thèse de Maxime Chupin sur l'obtention de trajectoires optimales utilisant les variétés invariantes issues des points de Lagrange du système à 3 corps.

Avec Monique Chyba et Geoff Patterson, nous nous penchons sur un problème de rendez-vous avec une mini-lune temporairement capturée par le champs gravitationnel de la Terre. Il s'agit de concevoir une mission d'interception d'un petit corps céleste en partant (vraisemblablement) d'un voisinage du point L2 du système au 3 corps Terre-Lune, avec éventuellement la prise en compte de l'attraction du Soleil sous la forme d'un problème au 4 corps.

Tomographie Acoustique

Dans le cadre du projet ANR AVENTURES, porté par Maïtine Bergounioux et à son initiative, je m'intéresse à la modélisation du problème de Tomographie Photo (et Thermo) Acoustique pour la tomographie des tissus mous. L'idée est de modéliser ce problème comme un problème de contrôle optimal dans lequel le contrôle est la propriété acoustique (absorptivité principalement, conductivité...) du corps à reconstruire.

Méthodes en contrôle optimal

Dans la continuité de mes recherches en théorie du contrôle optimal, je m'intéresse, en collaboration avec Emmanuel Télat, aux thèmes suivants :
  • Pénalisation des problèmes de contrôle optimal avec contraintes sur l'état. Cette direction de recherche tente d'apporter des résultats de convergence d'une méthode de régularisation des contraintes d'états d'un problème de contrôle optimal. Le but est d'obtenir des résultats de convergence du même ordre que ceux déja obtenus pour la régularisation de problèmes sur domaine stratifiés (cf. article Convergence results for smooth regularizations of hybrid nonlinear optimal control problems).
  • Mon expérience des méthodes de continuation en contrôle optimal m'ont amené à considérer une méthode locale de construction de synthèse optimale permettant entre autre de localiser les cas d'optima anormaux/singuliers/conjugués.

Projets passés

Parmis mes projets passés, dont certains bénéficient toujours d'une suite, on peut lister.

Régularisation de problèmes de contrôle optimal sur domaine stratifié

Cf. l'article Convergence results for smooth regularizations of hybrid nonlinear optimal control problems dans lequel on donne un résultat de convergence de l'extrémale (trajectoire, contrôle, état adjoint) de la régularisation d'un problème de contrôle hybride vers l'extrémale du problème de contrôle hybride. La difficulté principale du résultat est la convergence de l'état adjoint qui est souvent oubliée dans la littérature et qui pourtant est très importante pour justifié une utilisation pratique (numérique) de la régularisation.

Transfert orbital

Cf. l'article Continuation from a flat to a round Earth model in the coplanar orbit transfer problem, où on propose une méthode amusante de résolution du problème de transfert orbital à poussée forte.

(2004-2008) Conception de trajectoires efficaces pour un sous-marin autonome

Il s'agit ici de mon sujet de post-doctorat, que j'ai effectué à l'université d'Hawaii à Manoa, sous la direction de Monique Chyba.
Ma recherche en tant que post-doctorant comporte plusieurs volets dont le principal à été l'étude de la contrôlabilité de l'AUV (Autonomous Underwater Vehicle) ODIN (Omni Directional Intelligent Navigator) du laboratoire ASL (Autonomous System Laboratory) ainsi que l'extension de cette étude aux systèmes mécaniques dont la dynamique est dérivée d'un Lagrangien du type énergie cinétique moins énergie potentielle. Après l'étude de contrôlabilité qui a mené à des méthodes de construction de trajectoire admissible reliant deux configurations, ma recherche s'est orientée vers le calcul numérique de trajectoire optimale pour le problème de transfert en temps minimal d'un AUV. Les solutions de ce type de problème sont de forme bang-singulière et les possibles singularités rendent l'emploi d'une méthode indirecte délicate. Nous avons donc opté pour une méthode directe étant donné que les solutions calculées le sont en vue d'implémentation des stratégies de contrôle sur ODIN lors de tests à la piscine de l'Université d'Hawaii, et donc les configurations terminales ne sont pas très éloignées. En effet, un des premiers but de ma recherche de post-doctorat est d'être capable d'améliorer les performances d'ODIN en calculant des trajectoires efficaces en terme de temps de transfert ou d'énergie. La première méthode directe employée a tout simplement été la transformation du problème de contrôle optimal en un problème d'optimisation non linéaire dont les paramètres d'optimisation sont les états et le contrôle discrétisés. A la lumière des résultats obtenus, l'existence d'un phénomène de chattering dans la commande n'est pas à exclure, comme nous l'a montré une étude de l'ordre des contrôles singuliers. De plus, la commande optimale présente fréquemment un nombre important de commutations ce qui est préjudiciable à une implémentation sur le terrain. Nous avons donc introduit une autre méthode de résolution consistant à résoudre le problème en fixant le nombre d'instant de commutation. Ceci nous mène à la réécriture du problème de contrôle optimal en un problème d'optimisation non linéaire dont les inconnues sont la valeur des instants de commutations et la valeurs des contrôles entre chaque commutation (la structure est imposée comme constante par morceaux). Les résultats de cette méthode sont prometteurs puisque les temps de transfert obtenus sont très proches de ceux de la discrétisation des états et du contrôle pour une structure de contrôle beaucoup plus simple à implémenter sur le terrain. De plus, les temps de résolutions sont clairement en faveur de la nouvelle méthode puisqu'ils ne dépassent pas les 10 s. contre plus de 30 mn. pour la première méthode (sur la même plateforme). Comme dit précédemment, le but de notre recherche est avant tout d'améliorer les performances de l'AUV. Pour cela, une bonne adéquation entre notre modèle mathématique et le comportement d'ODIN est nécessaire. En ce moment nous réalisons de nombreux tests en piscine afin de valider/améliorer notre modèle. En parallèle nous commençons létude des trajectoires minimisant l'énergie ou la consommation. La minimisation de l'energie est intéressante d'un point de vue théorique car on peut y appliquer une méthode de tir (multiple) et étudier la pertinence de l'application d'intégrateurs symplectiques pour un problème de contrôle optimal. La minimisation de la consommation est le critère intéressant en pratique puisque c'est celui qui maximisera l'autonomie de l'AUV. L'investigation de ce critère est toujours en cours et promet d'être fructueuse. On peut d'ors et déjà affirmer que le fait que notre système mécanique est dissipatif, le problème de minimisation de la consommation à temps libre aura une solution a horizon finie (contrairement au cas du transfert orbital). Cette constation a pu être re-confirmée numériquement.

(2001-2004) Transfert orbital à poussée faible d'un satellite avec maximisation de la masse finale

Il s'agit de ma thèse de doctorat, effectué à l'Institut Polytechnique de Toulouse, sous la direction de Joseph Noailles et Joseph Gergaud.
Cette thèse porte sur un problème de mécanique spatiale, à savoir un transfert orbital à poussée faible, autour de la Terre, avec maximisation de la masse finale. La difficulté de ce problème vient des discontinuités de la commande optimale et du fait que les instants de commutations ne sont pas connus (nombre et localisation). La methode du tir simple devenant particulièrement sensible à l'initialisation, on paramètre le critère du problème pour relier la minimisation de l'énergie à la minimisation de la consommation. La fonction de tir résultant de la paramétrisation définit alors une homotopie dont le chemin de zéros est suivi par une méthode de continuation différentielle. Une seconde homotopie, discrète celle-ci, permet d'affranchir complètement notre méthode de toute connaissance a priori sur la structure de la commande optimale, d'autant plus que le nombre de commutations peut être très important (plus de 1000 pour une poussée de 0.1 N et un satellite de 1500 kg). Cette méthode de résolution est implantée dans un logiciel et appliquée avec succès à notre problème. Les résultats obtenus permettent de mettre en évidence.