UMR CNRS 6628 - Laboratoire MAPMO Orléans
Temps-fréquence

d'après Patrick Flandrin

    L'analogie avec la notation musicale est communément utilisée pour introduire l'idée de représentation temps-fréquence, chaque note d'un morceau étant en effet associée à une certaine localisation aussi bien temporelle (son instant d'occurrence et sa durée) que fréquentielle (sa hauteur). Tout en conservant cette vision qui associerait le plan temps-fréquence à une sorte de "portée" mathématique, l'analyse en ondelettes ajoute une contrainte supplémentaire dans la description en s'appuyant sur l'argument physique souvent raisonnable selon lequel une note, pour être percue comme telle, doit être tenue d'autant plus longtemps qu'elle est plus grave (comme disait N. Wiener dans I am a Mathematician, "A fast jig on the lowest register of an organ is in fact not so much bad music but no music at all."). Le plan temps-fréquence se trouve alors naturellement associé à une arborescence prenant racine aux basses fréquences.



     La transformation de Fourier et l'analyse spectrale, telle qu'elle a été développée en particulier par Wiener, sont des outils incontournables du traitement des signaux harmoniques et/ou stationnaires. Elles reposent cependant sur un concept de fréquence qui est exclusif de toute évolution temporelle, ne permettant pas de donner commodément sens à la notion pourtant intuitive de fréquence instantanée. Cette difficulté est liée de façon fondamentale au fait que les variables de temps et de fréquence sont "canoniquement conjuguées", et leurs représentations associées sujettes à des inégalités de type "incertitude".
    La reconnaisssance qualitative de ce fait est attachée au nom de  Heisenberg (1925) et à un contexte de mécanique quantique (avec les variables de position et impulsion en lieu et place de celles de temps et fréquence), la forme mathématique précise des inégalités classiques étant due à Weyl (1927) et Gabor dans le cadre de la théorie du signal (1946).
    Répondant par anticipation au souhait de  Perec ("Je cherche en même temps l'éternel et l'éphémère"), Gabor (1946) et Ville (1948) réconcilièrent temps et fréquence en proposant une définition de fréquence instantanée basée sur la notion de signal analytique, et donc sur l'utilisation de la transformation de  Hilbert. Cependant, cette approche trouve elle aussi ses limitations dès lors que les signaux analysés sont multi-composantes, une fonction monovaluée ne pouvant rendre compte de l'évolution simultanée de plusieurs trajectoires temps-fréquence.
    Dans ces situations, il est en fait nécessaire de recourir à une approche vraiment bidimensionnelle, qui soit à même d'offrir une représentation (une "image") d'un signal non stationnaire dans un plan temps-fréquence. Là encore, quoique des approches intuitives et ad hoc aient depuis longtemps été utilisées sur la base de transformations de Fourier glissantes, c'est en mécanique quantique qu'apparut la première distribution vraiment conjointe. Elle fut proposée par  Wigner (1932) et redécouverte dans le contexte de la théorie du signal par  Ville (1948). Bien qu'elle ne soit pas véritablement unique, la distribution de WignerVille jouit d'un grand nombre de propriétés théoriques remarquables et est au centre de la plupart des études qui ont été conduites sur le sujet depuis.
    Par construction, la distribution de  WignerVille est quadratique, l'apparentant davantage à une "densité spectrale évolutive" qu'à une transformation de Fourier dépendante du temps.


Quelques repères bibliographiques généraux

    R. Carmona, H.L. Hwang, B. Torrésani, Practical Time-Frequency Analysis, Academic Press, 1998.
    L. Cohen, Time-Frequency Analysis, Prentice-Hall, 1995.
    P. Flandrin, Temps-Fréquence, Hermès, 1993-1998.
    P. Flandrin, Time-Frequency/Time-Scale Analysis, Academic Press, 1999.
    G.B. Folland, Harmonic Analysis in Phase Space, Princeton Univ. Press, 1989.
    C. Gasquet, P. Witomski, Analyse de Fourier et Applications : Filtrage, Calcul Numériques et Ondelettes, Masson, 1990.
    F. Hlawatsch, Time-Frequency Analysis and Synthesis of Linear Signal Spaces, Kluwer, 1998.
    T.W. Körner, Fourier Analysis, Cambridge Univ. Press, 1988.




Articles concernés
    [P1]   Zéros de fonctions holomorphes et contre-exemples en théorie des radars.   (avec G. Garrigós et J.-B. Poly)   Résumé   

    [1]   Principe d'incertitude qualitatif et reconstruction de phase pour la transformée de Wigner.
    paru dans : Comptes Rendus de l'Academies des Sciences Vol
    237 (1998) 249--254    Résumé


    [2]  Phase Retrieval Techniques for Radar Ambiguity Problems.
    paru dans : Journal of Fourier Analysis and Applications Vol 5 No 3 (1999) 313 --333   Résumé


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Mis à jour le jeudi 1 Janvier 1970 1h 0mn 0s