Les processus d'adhésion cellulaire jouent un rôle essentiel dans la mise en place de l'architecture embryonnaire et tissulaire et le développement de certains cancers. La modélisation de ces phénomènes porte à des questions mathématiques très intéressantes tant du point du vue théorique que numérique. Le projet PEPS-MBI MAC est basé sur une collaboration entre des biologistes et des mathématiciens et a comme but l'étude, la modélisation, et la comparaison des résultats numériques et expérimentaux pour la croissance des contacts intercellulaires médiés par les interactions (trans-cellulaires et cis-cellulaires) entre cadhérines. Nous souhaitons apporter une caractérisation mécanistique de ce processus qui puisse aider les biologistes à combler les limites et/ou à envisager de nouveaux protocoles expérimentaux.
En considerant une déscription mathématique du type statistique de la croissance des contacts par engagement de cadhérines, les inconnues sont les fonctions de distribution des cadhérines libres et liées, et doivent satisfaire des équations aux dérivées partielles. Le système d'équations qui régit la dynamique de l'adhésion et croissance des contacts cellulaires sera du type réaction-diffusion dégénérée (certains taux de diffusion peuvent être nuls du fait des liaisons chimiques entre protéines libres et protéines déjà engagées). Ce projet et aussi à la base d'une thèse en mathématique demarrée à la rentrée 2012.

Dans le cadre du projet ERC jeunes-chercheurs (DEMONS) en volcanologie, porté par A.Burgisser (ISTO, Orléans), nous nous intéressons à l'évolution de l'ensemble magma-bulles à l'intérieur d'un conduit volcanique. En effet, la façon dont le système magma-bulle de gaz évolue influence la porosité et donc la perméabilité du magma en surface du conduit, favorisant des éruptions explosives ou effusives. Le projet étant en physique est plus centré sur les expériences de laboratoire et la prise de données sur le terrain ; ma participation concerne la partie modélisation et simulations. Des importantes avancées ont déjà été faites pendant les stages de Master 1 et 2 de L.Forestier-Coste.

Un premier approche du problème est fait en considérant les bulles de gaz comme de particules de volume V, et en regardant l'evolution de l'ensemble de bulles. Ainsi, nous sommes ammenés à étudier une équation de type cinétique (éq. de Smoluchowski). Une première étude (stage Master 1 de L. Foresier-Coste) a montré les limites de cette modélisation : la comparaison des résultats des simulations numériques et des manipulations faites par A.Burgisser, pour un magma hors équilibre (c'est à dire soumis à une forte décroissance de pression), ont montré des différences non-négligeables. Ceci peut-être du à différents facteurs entrant en jeu dans le modèle choisi : viscosité du fluide, coalescence de bulles pas instantanée, taux de croissance erroné.
Nous nous intéressons donc à la modélisation de la seule croissance des bulles par décompression et diffusion d'eau depuis le magma dans la bulle. Il est rapidement vu qu'aussi la pression du gaz dans les bulles doit être pris en jeu (stage Master 2 de L. Forestier-Coste).

Dans le cadre du projet ANR (MANDy), porté par M.Thieulen (Paris VI), et en collaboration avec J.A.Carrillo et G. Deco (Barcelone), je m'intéresse à l'étude analytique et numérique de l'équation déterministe de Fokker-Planck associée à un système d'équations différentielle ordinaires stochastiques (EDOS). Ce système (de type Wilson-Cowan) est appliqué pour la simulation des fréquences de pulsation de deux famille de neurones qui interagissent, par exemple pour la reconnaissance visuelle.
Les particularités de ce modè sont : le terme de flux de l'équation cinéque n'est pas le gradient d'un potentiel (1), le systeme d'EDOS associé est du type slow-fast , (2).

1. Les premiers resultat théoriques (stage Master 2 de T.D. Cao) et numériques obtenus, sont en accord avec ceux obtenus par G. Deco et montrent la convergence de la solution du modèle de Fokker-Planck vers une distribution caracterisée par deux piques.
2. En collaboration avec N. Berglund et D. Landon (stage Master 2 et thèse), nous étudions l'influence du terme stochastique et du facteur slow-fast sur le temps de sortie pour un système de type Van der Pool stochastique (système simplifié avec les mêmes caracteristiques de ceux utilisés en neuroscience).