Thématique : Analyse Complexe et Systèmes Dynamiques

Description de la thématique

   Cette thématique s'inscrit dans la tradition de la théorie géométrique des fonctions, dont J. Lelong-Ferrand avait proposé comme synonyme : \Analyse géométrique". Ce domaine a vocation à se situer à un carrefour, ce qui explique la présence dans cette thématique de chercheurs plus spécialisés en Algèbres d'Opérateurs ou en Physique mathématique.

   Pour expliquer le point de vue de ce groupe, illustrons-le par un des thèmes développés durant la période. L'espace BMO de John et Nirenberg joue un grand rôle en théorie géométrique des fonctions à cause de son invariance conforme. Ainsi le plongement de Bers des espaces de Teichmüller a lieu dans un espace de Bergman-BMO et la thèse de Zinsmeister prolongée par des travaux en commun avec Astala et Cui ont montré la pertinence de l'espace de Hardy-BMO pour l'élaboration d'une théorie de Teichmüller rectifiable. Cette dernière théorie est aussi très liée à l'espace de Hardy H1 dont Fefferman et Stein ont précisément montré que le dual est isomorphe à BMO. Coifman et Meyer avaient proposé en 1981 une preuve du théorème de représentation conforme de Riemann pour des domaines proches du demi-plan qui consistait à appliquer le théorème du point fixe à une fonctionnelle adaptée dans BMO. Dans sa thèse, C. Erba a généralisé, en collaboration avec Zinsmeister, ce résultat dans un cadre de mécanique des fluides, plus précisément pour un modèle de sillage derrière un obstacle symétrique. Par ailleurs la dualité H1-BMO est plus subtile que la dualité entre L^p's : un travail en commun avec A. Bonami, T. Iwaniec, P. Jones et M. Zinsmeister se propose d'étudier le produit d'une fonction de H1 et d'une fonction de BMO en tant que distribution (qui n'est pas L¹ en général).

Formalisme thermodynamique et Analyse multifractale.

   Il s'agit d'un programme commencé avec la thèse de G. Havard. On veut comprendre les variations de la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Julia d'une fonction entière dépendant d'un paramètre, autour d'un point pour lequel la fonction entière admet un point parabolique.

   Dans les directions implosives on sait (cf. Douady-Sentenac-Zinsmeister) que la dimension présente une discontinuité dans le cas des polynômes quadratiques et ce résultat a été généralisé à la famille exponentielle par Urbanski et Zinsmeister. Pour les directions non implosives une première étude a été faite par Bodart et Zinsmeister puis par Havard et Zinsmeister, en particulier dans le cas z→z² + c avec c→1/4.

   Dans un travail en commun entre Havard, Urbanski et Zinsmeister nous avons généralisé ce résultat aussi à la famille exponentielle. Ce travail a été partiellement financé par le projet CODY. C'est dans le cadre de ce même réseau Marie-Curie que L. Jackstasz a effectué un séjour au MAPMO et commencé une fructueuse étude du cas des 2 pétales dans la eur de Leau-Fatou.

   A l'occasion du recrutement de Testud sur un poste ATER nous avons mis en place en groupe de travail sur l'analyse multifractale des mesures. Il s'agit de l'étude fine de la structure d'une mesure (ou d'une fonction). Dans un travail soumis, Batakis et Testud ont montré que la convolution de mesures de Bernoulli ne satisfait pas toujours les conditions d'application du formalisme multifractal ; pour ces mesures, ils proposent des critères nécessaires et suffisants pour que le formalisme soit valide.

Opérateurs de Schrödinger à potentiel sturmien.

   S. Tcheremtchansev étudie depuis plusieurs années les questions de transport dans les systèmes quantiques, notamment la recherche de bornes dynamiques tant supérieures qu'inférieures. L. Marin a complété ces résultats dans sa thèse pour des potentiels généraux. Il s'agit d'un thème qui allie la physique mathématique, l'analyse fonctionnelle (théorie des opérateurs) et les systèmes dynamiques.

   Signalons qu' A. Alvarez travaille autour de la théorie géométrique des groupes en lien avec les algèbres d'opérateurs, ainsi que des systèmes dynamiques. On renvoit au paragraphe sur la théorie mesurée des groupes dans Géométrie des Groupes pour plus de détails sur cette question.

Perspectives

   Le Thanh Hoang Nhat commence sa thèse sur une thématique croisée entre le formalisme thermodynamique et l'analyse multifractale. McMullen a prouvé un résultat utilisant le formalisme thermodynamique dans un cadre dynamique certes général mais où la dynamique est cruciale. Nhat cherche à généraliser ce résultat dans un cadre non dynamique: les méthodes sont alors les moyennes intégrales pour les fonctions univalentes, ou encore, de façon équivalente, le spectre universel multifractal des mesures harmoniques.

   Notons enfin que C. Anantharaman ainsi que A. Alvarez et N. El Haage Hassan utilisent également le formalisme thermodynamique dans un cadre d'algèbres d'opérateurs. Un groupe de travail sur ce thème est en cours.

Vols Browniens

   Il s'agit d'un projet pluridisciplinaire avec les physiciens du LPMC de l'Ecole Polytechnique. La problématique a pour point de départ les expériences utilisant la méthode de la relaxation de RMN (Résonance Magnétique Nucléaire) qui permet de calculer la statistique de la durée des phases de diffusion pour des molécules (d'eau par exemple) dans une solution de longues molécules (on peut penser à l'ADN ou à des polymères). La présence de polymères rend en effet la dynamique des molécules intermittente avec une phase d'adsorption suivie d'une phase de diffusion dans le bulk.

   Il se trouve que, comme il a été montré (dans une Phys. Rev. L. et dans PAMQ), la statistique de la taille des "vols" diffusifs renseignent sur la géométrie des polymères en solution. Dans un travail soumis, Batakis et Zinsmeister montrent qu'il en est de même du temps. Ce travail s'inscrit à l'ANR DYOPTRI qui a pour thème général les dynamiques intermittentes et associe des physiciens, des biologistes spécialistes du comportement animal (stratégie de recherche de proies) et des mathématiciens. Un des projets est de modéliser les phénomènes décrits par les physiciens par un mouvement brownien réfléchi.

Processus de Croissance

   Ce projet a commencé par une volonté de comprendre le modèle DLA de Witten et Sander. Hastings et Levitov ont proposé un modèle de croissance par itération de transformations conformes dépendant d'un paramètre α∈[0,2], le cas α=2 étant une version du DLA. S. Rohde et Zinsmeister ont étudié complètement le cas α=0 et espérent rapidement généraliser les méthodes au moins au cas α petit. Cette collaboration s'est aussi effectuée autour d'un stage de fin d'étude de deux étudiants étrangers de l'Ecole Polytechnique.
   Une collaboration avec une post-doctorante Marie-Curie (Yermolayeva) a débuté sur ce sujet à l'IHP.

   Une AAP Région (TRUC) vient de démarrer avec une collaboration entre des géographes, des physiciens et des aménageurs de territoire portant sur des modèles de croissance urbaine.

   Parallèlement, un programme de travail s'est développé sur l'aspect déterministe de l'équation de Löwner. L'emergence de SLE, inventé par Schramm, a en effet mis à jour la nécessité d'une telle étude. Avec Tran Vo Huy nous investigons notamment les conditions que doivent remplir les fonctions pilotes pour engendrer des courbes rectifiables.