Thématique : Analyse Complexe et Systèmes Dynamiques

Membres permanents : Aurélien Alvarez, Claire Anantharaman, Matthieu Astorg, Athanasios Batakis, Nawfal Elhage Hassan, Guillaume Havard, Serguei Tcheremchantsev, Michel Zinsmeister.

Description de la thématique

   Les thèmes abordés au MAPMO dans la thématique Analyse complexe et systèmes dynamiques vont de la dynamique holomorphe à l'étude de la diffusion en passant par les processus de croissance. Les principaux travaux et résultats obtenus sont détaillés ci-dessous. Le recutement de Matthieu Astorg en septembre 2016 viendra renforcer cette thématique.

Dynamique holomorphe.

   Genadi Levin et Michel Zinsmeister, en utilisant des résultats de A.Douady, ont montré que dans la famille z ↦ z2q+c, c ∈ ℝ, le suprémum de la dimension de Hausdorff des ensembles de Julia est > 2q/(q+1) et que ce suprémum est atteint au voisinage de tout point c pour lequel le polyn\^ome n'a pas de cycle attractif. L.Jacksztas et M. Zinsmeister travaillent sur les variations de la fonction c↦ dimension de Hausdorff de l'ensemble de Julia de z2+c, c décrivant les réels, notamment au voisinage des points c pour lesquels il y a un cycle parabolique (en chantier).
Dans un ordre d'idées différent mais connexe, Le Thanh Hoang Nhat et Michel Zinsmeister ont obtenu un contre-exemple à une conjecture de McMullen concernant la dimension de Hausdorff des quasicercles apparaissant comme petites déformations du cercle. Par contre H.Ho et B.Le ont montré par un calcul direct que la conjecture de McMullen est vraie dans le cas des fonctions de la classe de Bloch provenant du whole plane SLE2 (voir plus bas): ce travail fait partie de leurs thèses et va donner lieu à un article.

Processus de croissance: Croissance urbaine.

   En partant de la théorie mathématique de la croissance planaire, Nguyen Thi Thuy Nga a développé une théorie de la croissance urbaine dans sa thèse dirigée par A.Batakis et M.Zinsmeister. La thèse a été partiellement financée par un APR ("TRUC"): un projet pluridisciplinaire regroupant des mathématiciens, des physiciens, des géographes et des aménageurs du territoire. Outre la thèse, ce travail a produit un logiciel destiné aux décideurs sur la croissance des villes et a été appliqué à la ville de Montargis. Ce projet a aussi débouché sur un nouveau contrat avec la Région, BINS, en cours.

Processus de Croissance: whole plane SLE.

   B.Duplantier, C.Nguyen, N.Nguyen et M.Zinsmeister ont observé de curieux phénomènes d'intégrabilité pour le whole-plane SLE, avec en particuliers des calculs exacts d'espérances des coefficients pour des valeurs de κ correspondant à des cas "physiques" (percolation, brownien à boucles effacées). Ce travail a été mis à profit dans l'étude du spectre multifractal de SLE: plus précisément un nouveau spectre a été mis en évidence, correspondant grosso-modo à l'extrémité infinie du cluster. Depuis, B.Duplantier et M.Zinsmeister ont développé avec H.Ho et B.Le une théorie de spectre des moyennes invariantes généralisé, ce qui a permis de mieux comprendre les imbrications entre les différents spectres. Enfin, D.Bieliaev, B.Duplantier et M.Zinsmeister ont mis a profit cette théorie pour corriger et étendre les résultats de Bieliaev et Smirnov sur le spectre multifractal du whole-plane SLE (externe). Avec Bossoto (Brazzaville), M.Zinsmeister a obtenu des résultats exacts pour les espérances du schwarzien du whole plane SLE et B.Le a obtenu expérimentalement (avec l'aide de MAPLE) des résultats intriguants concernant l'opérateur de Grunsky lié au whole-plane SLE.

Vols browniens et dynamiques intermittentes.

   Poursuivant une collaboration entamée il y a une dizaine d'années avec des physiciens de la matière condensée, A.Batakis, P.Levitz et M.Zinsmeister ont étudié la loi de la taille des vols browniens dans des domaines fractals. Dans sa thèse, sous la direction de A.Batakis et M.Zinsmeister, Xuan Lan Phun a étudié un cas de dynamique intermittente dans un disque et a montré rigoureusement l'existence de stratégies optimisantes. Ce travail a donné lieu à une publication (avec O.Benichou, D.Grebenkov, L.Hillairet, R.Voituriez et M.Zinsmeister).

Distributions de sortie de diffusions.

   Athanasios Batakis et Viet Hung Nguyen ont travaillé sur la distribution de sortie de la diffusion brownienne partiellement refléchie (notamment lorsque une partie de la frontière du domaine et absorbante et une autre ``refléchissante''). Ils ont prouvé que cette diffusion peut être aussi proche que l'on souhaite de celle qui tiendrait le r\^ole de la distribution uniforme sur la partie absorbante. Dans un travail en cours, K.Astala, A.Batakis, et M.Zinsmeister étudient le mouvement brownien réflechi, et ont réussi à montrer que par un jeu de miroirs, on pouvait prescrire la mesure harmonique sur la partie absorbante. Athanasios Batakis s'est ensuite tourné à la dimension de la mesure harmonique standard de domaines au bord fractal. Avec Anna Zdunik, il a étendu des précédents travaux de Carleson, Makarov et Volberg dans le cadre de fractals inhomogènes. Le problème de la variation de cette dimension en fonction du fractal est abordé par A.Batakis et G.Havard dans un travail en cours de rédaction.