Thématique : Analyse Complexe et Systèmes Dynamiques

Description de la thématique

   Cette thématique s'inscrit dans la tradition de la théorie géométrique des fonctions, dont J. Lelong-Ferrand avait proposé comme synonyme : \Analyse géométrique". Ce domaine a vocation à se situer à un carrefour, ce qui explique la présence dans cette thématique de chercheurs plus spécialisés en Algèbres d'Opérateurs ou en Physique mathématique.

   Pour expliquer le point de vue de ce groupe, illustrons-le par un des thèmes développés durant la période. L'espace BMO de John et Nirenberg joue un grand rôle en théorie géométrique des fonctions à cause de son invariance conforme. Ainsi le plongement de Bers des espaces de Teichmüller a lieu dans un espace de Bergman-BMO et la thèse de Zinsmeister prolongée par des travaux en commun avec Astala et Cui ont montré la pertinence de l'espace de Hardy-BMO pour l'élaboration d'une théorie de Teichmüller rectifiable. Cette dernière théorie est aussi très liée à l'espace de Hardy H1 dont Fefferman et Stein ont précisément montré que le dual est isomorphe à BMO. Coifman et Meyer avaient proposé en 1981 une preuve du théorème de représentation conforme de Riemann pour des domaines proches du demi-plan qui consistait à appliquer le théorème du point fixe à une fonctionnelle adaptée dans BMO. Dans sa thèse, C. Erba a généralisé, en collaboration avec Zinsmeister, ce résultat dans un cadre de mécanique des fluides, plus précisément pour un modèle de sillage derrière un obstacle symétrique. Par ailleurs la dualité H1-BMO est plus subtile que la dualité entre L^p's : un travail en commun avec A. Bonami, T. Iwaniec, P. Jones et M. Zinsmeister se propose d'étudier le produit d'une fonction de H1 et d'une fonction de BMO en tant que distribution (qui n'est pas L¹ en général).

Formalisme thermodynamique et Analyse multifractale.

   Il s'agit d'un programme commencé avec la thèse de G. Havard. On veut comprendre les variations de la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Julia d'une fonction entière dépendant d'un paramètre, autour d'un point pour lequel la fonction entière admet un point parabolique.

   Dans les directions implosives on sait (cf. Douady-Sentenac-Zinsmeister) que la dimension présente une discontinuité dans le cas des polynômes quadratiques et ce résultat a été généralisé à la famille exponentielle par Urbanski et Zinsmeister. Pour les directions non implosives une première étude a été faite par Bodart et Zinsmeister puis par Havard et Zinsmeister, en particulier dans le cas z→z² + c avec c→1/4.

   Dans un travail en commun entre Havard, Urbanski et Zinsmeister nous avons généralisé ce résultat aussi à la famille exponentielle. Ce travail a été partiellement financé par le projet CODY. C'est dans le cadre de ce même réseau Marie-Curie que L. Jackstasz a effectué un séjour au MAPMO et commencé une fructueuse étude du cas des 2 pétales dans la eur de Leau-Fatou.

   A l'occasion du recrutement de Testud sur un poste ATER nous avons mis en place en groupe de travail sur l'analyse multifractale des mesures. Il s'agit de l'étude fine de la structure d'une mesure (ou d'une fonction). Dans un travail soumis, Batakis et Testud ont montré que la convolution de mesures de Bernoulli ne satisfait pas toujours les conditions d'application du formalisme multifractal ; pour ces mesures, ils proposent des critères nécessaires et suffisants pour que le formalisme soit valide.

Opérateurs de Schrödinger à potentiel sturmien.

   S. Tcheremtchansev étudie depuis plusieurs années les questions de transport dans les systèmes quantiques, notamment la recherche de bornes dynamiques tant supérieures qu'inférieures. L. Marin a complété ces résultats dans sa thèse pour des potentiels généraux. Il s'agit d'un thème qui allie la physique mathématique, l'analyse fonctionnelle (théorie des opérateurs) et les systèmes dynamiques.

   Signalons qu' A. Alvarez travaille autour de la théorie géométrique des groupes en lien avec les algèbres d'opérateurs, ainsi que des systèmes dynamiques. On renvoit au paragraphe sur la théorie mesurée des groupes dans Géométrie des Groupes pour plus de détails sur cette question.