Thématique : Analyse Harmonique

Description de la thématique

   L'analyse harmonique est au carrefour de plusieurs domaines des mathématiques et la plupart des recherches menées sous cette dénomination au MAPMO touchent d'autres thématiques (analyse complexe, analyse fonctionnelle, analyse fractale et multifractale, combinatoire, EDP, fonctions spéciales, géométrie, probabilités, problèmes inverses, systèmes dynamiques, théorie ergodique, théorie des groupes, théorie du potentiel, traitement du signal et de l'image).

AH et applications.

   A. Bonami, S. Grellier, Ph. Jaming et leurs collaborateurs ont obtenu un ensemble important de résultats en analyse de Fourier théorique et appliquée.

   Dans une série d'articles ([66], [67], [238]), A. Bonami et S.G. Révész étudient de manière approfondie les phénomènes de concentration des polynômes trigonométriques à coefficients 0 ou 1. Ces travaux font apparaître des exemples inédits jouissant de propriétés remarquables.

   L'article [65] traite du produit d'une fonction H¹ par une fonction BMO et de sa décomposition comme somme d'une fonction L¹ et d'une fonction dans un espace de Hardy-Orlicz. Ce résultat est important, en soi et pour ses applications potentielles. Les articles subséquents ([237], [62], [60]) de A. Bonami, S. Grellier et J. Feuto traitent de deux cas où la composante L¹ s'annule, sous des conditions d'holomorphie ou sous des conditions div-curl. Ces travaux conduisent à une nouvelle approche des opérateurs de Hankel ([64], [68]).

   L'article [236] fait une synthèse de résultats obtenus autour de la thèse de Bruno Demange (2001-2004) sur le principe d'incertitude en termes de conditions de décroissance rapide. Ph. Jaming a poursuivi cette problématique dans une série de travaux ([158], [156] traitent de conditions de support et [273], [162] d'extensions du principe d'incertitude aux bases orthonormées). Le principe d'incertitude sur les groupes abéliens finis ([305], [328]), dont la relation avec le compressed sensing a été mise en évidence par T. Tao, est étudié par S. Ghobber, sous la direction de A. Bonami puis de Ph. Jaming.

   Les problèmes de reconstruction de phase consistent à reconstruire une fonction f à partir de son module |f| et d'informations a priori sur f issues d'un modèle physique. Le travail [61] traite du problème d'ambiguité radar et [160] du problème des bases mutuellement débiaisées.

AH et analyse complexe.

   Dans une collaboration de longue durée avec des chercheurs camerounais, espagnols et italiens, A. Bonami étudie les propriétés du projecteur de Bergman dans les domaines symétriques complexes.
Dans [108], Ph. Jaming et ses collaborateurs caractérisent les distributions pouvant être prolong ées par convolution avec le noyau de Poisson.

AH & EDP.

   Depuis Fourier, l'analyse harmonique constitue un outil important dans l'étude des EDP. Les EDP dispersives (équation de Schrödinger et équation des ondes, avec ou sans potentiel, dans Rⁿ et sur les variétés) constituent le domaine de recherche de V. Pierfelice, qui s'est intéressée progressivement à l'analyse harmonique. Son recrutement en 2006 visait à dynamiser les interactions entre analyse harmonique & EDP. Après un groupe de travail en 2007 et un colloque en 2008, elle a entrepris avec J.-Ph. Anker l'étude des équations de Schrödinger et de l'équation des ondes sur les espaces symétriques. Ils ont obtenu des estimations dispersives et de Strichartz sur les espaces hyperboliques Hⁿ, en s'affranchissant de toute hypothèse de radialité [190], et ils en ont déduit des théorèmes d'existence et d'unicité. Ces résultats s'avèrent meilleurs en courbure négative qu'en courbure nulle et vont donner lieu à une série d'articles.

   D'autres chercheurs ont été progressivement associés à ce programme de recherche : Maria Vallarino (postdoc Milano) au cours de son postdoc à Orléans, Stefano Meda (PR Milano), F.Ayadi (doctorante), A. Jamal Eddine (doctorant). Une partie des travaux de V. Pierfelice sont décrits dans la thématique Equations aux Dérivées Partielles. Les questions liées à l'équation de la chaleur sont décrits dans le paragraphe AH & probabilités.

   Au cours d'un séjour scientifique d'une année à Orsay en 2007-2008, S. Grellier a entrepris avec Patrick Gérard l'étude de l'équation de Szegö cubique sur le disque-unité, qui est un modèle d'étude pour l'équation de Schrödinger sur le groupe de Heisenberg. Dans l'article [134], qui fait appel aux opérateurs de Hankel étudiés par ailleurs, ils mettent en évidence des propriétés dynamiques extraordinaires en EDP.

AH & analyse fonctionnelle.

   P. Maheux poursuit ses travaux, seul ou en collaboration, notamment avec A. Bendikov, sur les inégalités fonctionnelles, plus précisément sur les inégalités de type Nash généralisées ([40], [303], [338], [339]).

   Les travaux suivants de Ph. Jaming se situent à la frontière de l'analyse harmonique et de l'analyse fonctionnelle : [161] résout une conjecture de Choquet, [152] traite du problème de Fuglede (bases d'exponentielles dans le disque) et [159] est consacré à un analogue discret d'un résultat de Alekser, Artstein-Avidan, Milman.

   Les travaux de H. Pfitzner sont décrits dans la thématique Algèbres d'Opérateurs.

AH et théorie ergodique.

   L'ouvrage collectif [213] est issu d'un groupe de travail organisé par Martine Babillot (y) en 2000-2002 et auquel ont participé des enseignants-chercheurs issus de différentes équipes des laboratoires MAPMO et LMPT, principalement de l'ex-équipe orléanaise ADG (Analyse, Dynamique et Géométrie). Sa rédaction, dirigée par M. Babillot puis par Claire Anantharaman, a constitué un travail de longue haleine, qui vient de s'achever. Après le DEA commun Orléans-Tours, cette collaboration est souvent citée comme précurseur de la FDP.

AH & probabilités.

   J.-Ph. Anker s'intéresse depuis longtemps au noyau de la chaleur sur les espaces symétriques, dont il a déterminé le comportement global avec son doctorant Patrick Ostellari (1998-2003). Bruno Schapira a étudié dans sa thèse la diffusion de la chaleur associée au laplacien de Dunkl hyperbolique et il a obtenu au passage des estimations remarquables dans la théorie de Dunkl-Cherednik [197]. Avec Bartosz Trojan (postdoc européen), ils ont entamé l'étude des marches aléatoires sur les immeubles affines [294], qui est un analogue discret - en temps et en espace - du mouvement brownien sur un espace symétrique.

AH et fonctions spéciales.

   La théorie de Dunkl constitue le thème principal de la coopération avec Tunis. Le travail [20] contient un théorème de Paley-Wiener, une application aux translations généralisées, et le calcul de la norme de ces translations en dimension 1. Les thèses de Br. Schapira et de F. Ayadi se situent également dans le cadre de la théorie de Dunkl hyperbolique.