Thématique : Analyse Harmonique

Membres permanents : Jean-Philippe Anker, Aline Bonami, Sandrine Grellier, Vincent Lafforgue, Patrick Maheux, Hermann Pfitzner, Vitoria Pierfelice.

Description de la thématique

   L'analyse harmonique est au carrefour de plusieurs domaines des mathématiques et la plupart des recherches menées sous cette dénomination au MAPMO touchent d'autres thématiques (analyse complexe, analyse fonctionnelle, analyse fractale et multifractale, combinatoire, EDP, fonctions spéciales, géométrie, probabilités, problèmes inverses, systèmes dynamiques, théorie ergodique, théorie des groupes, théorie du potentiel, traitement du signal et de l'image).
Analyse harmonique et applications.

   Dans la continuation de l'étude des produits de fonction de l'espace de Hardy H1 avec un élément du dual BMO initiée en 2007 par A. Bonami T. Iwaniec, P. Jones et M. Zinsmeister; A. Bonami, S. Grellier et L. D. Ky ont précisé ces estimations en introduisant des espaces de Hardy-Orlicz d'un type nouveau. Ceux-ci ont fait l'objet depuis d'une étude fondamentale de la part de L. D. Ky dans sa thèse (encadrée par S. Grellier) suivie d'une série d'articles de D. Yang et al.. Les outils introduits ont également permis à L. D. Ky de trouver une nouvelle approche pour les estimations H1 des commutateurs. Plus récemment, A. Bonami et S. Grellier en collaboration avec J. Feuto et L. D. Ky ont établi des lemmes div-curl dans le cadre des formes différentielles H1-BMO (travail commun de A. Bonami, S. Grellier, J. Feuto et Luong Dang Ky). Ils ont aussi établi une factorisation faible dans ce cadre.

Analyse harmonique et analyse complexe.

   En 2014, A. Bonami en collaboration avec Gustavo Garrigòs (Murcia) et Cyrille Nana (Cameroun) a publié un article sur les estimations avec perte pour le projecteur de Bergman dans les domaines tubes au dessus des cônes symétriques (il s'agit d'estimations Lp-Lq avec q < p pour la réalisation bornée du domaine). La principale conjecture, qui portait sur les estimations Lp, vient enfin d'être résolue grâce à de nouvelles estimations de Bourgain et Demeter et à l'utilisation de la stratégie de preuve développée par ces auteurs. Le résultat est donné dans un article de synthèse.

Analyse harmonique appliquée.

   L'étude des fonctions d'ondes sphéroïdales (PSWF) a fait l'objet d'une collaboration entre A. Bonami et A. Karoui, professeur à Bizerte. Il s'agit de l'étude de bases des fonctions à bande limitée aux propriétés de localisation intéressantes, à la fois pour leurs propriétés théoriques et numériques. Elles sont largement utilisées dans de nombreux domaines scientifiques, en particulier en géophysique, ce qui pose des problèmes théoriques qui ont été jusqu'ici peu abordés. A. Bonami et A. Karoui ont écrit une série de papiers proposant de nouvelles techniques d'approche et permettant en particulier de décrire précisément la décroissance de l'opérateur sinc, c'est-à-dire l'opérateur de noyau sin(cx)/πx sur L2([-1, 1]).

Processus aléatoires, milieux poreux et théorèmes centraux limites.

   Ce thème s'inscrit dans le prolongement d'une collaboration d'Aline Bonami de longue date avec le LESI sur les modélisations possibles de l'architecture osseuse en termes de champs aléatoires (prolongement de projets ANR pilotés par Paris 5 auxquels participait l'IPROS).
En relation avec ces problèmes, des travaux d'Aline Bonami en collaboration avec J. Léon (Caracas) et H. Biermé (Poitiers) sont en cours sur les tests d'anisotropie des champs gaussiens à accroissements stationnaires. Ils y développent des théorèmes centraux-limites pour les champs qui sont de plus auto-similaires. Ceci les a amenés à collaborer autour des vitesses de convergence dans le théorème central limite avec deux des meilleurs spécialistes du sujet, Ivan Nourdin et Giovanni Peccati (Luxembourg). Aline Bonami en collaboration avec J. Léon (Caracas) et H. Biermé (Poitiers) a écrit un article dans lequel de nouveaux théorèmes liés aux vitesses de convergence dans les chaos de Wiener sont obtenus. Ils ont également montré l'indépendance asymptotique des accroissements dans différentes directions de certains champs gaussiens, ce qui justifie a posteriori certaines méthodes utilisées dans la pratique pour estimer les paramètres.

Analyse harmonique sur les espaces à courbure non positive.

   Outre l'étude des EDP sur ce type d'espaces qui sera évoquée plus loin dans la partie Analyse harmonique et EDP, l'analyse harmonique sur les espaces à courbure non positive est représentée dans plusieurs thématiques.
La théorie de Dunkl est une théorie relativement récente de fonctions spéciales liées aux systèmes de racines, incluant les fonctions sphériques sur les espaces symétriques riemanniens. Jean Philippe Anker a co-encadré dans ce cadre les thèses de Bruno Schapira puis de Fatma Ayadi. Une publication est issue en partie de cette dernière thèse. Dans le cas trigonométrique unidimensionnel, les auteurs y calculent la formule du produit pour les fonctions hyper-géométriques d'Opdam et y démontrent un phénomène de type Kunze-Stein. Une autre publication est consacrée à l'espace de Hardy H1 dans le cas rationnel unidimensionnel. La difficulté principale consiste à cerner le comportement du noyau de la chaleur, qui s'avère ne pas être gaussien - ce travail a donné lieu à un article de synthèse à paraî tre dans un volume de la collection Trends Math. de Springer.
Les immeubles affines sont des analogues discrets (p-adiques) des espaces symétriques riemanniens de type non compact.
Jean-Philippe Anker et ses collaborateurs ont appliqué la même stratégie dans les deux cadres afin de résoudre explicitement une équation des ondes en rang 1, c'est-à-dire pour les arbres homogènes d'une part et pour les espaces hyperboliques d'autre part (ainsi que pour les espaces de Damek-Ricci). Il se trouve que l'équation des ondes considérée sur les arbres joue un rôle crucial dans les travaux de Brooks et Lindenstrauss sur la propriété QUE ( Quantum Unique Ergodicity).
Dans une prépublication, en cours de révision, Jean-Philippe Anker et ses collaborateurs obtiennent un encadrement global optimal (même borne supérieure et inférieure) pour la densité d'une marche aléatoire simple sur les immeubles de type A2~ et en déduisent un résultat analogue pour la fonction de Green associée. Ce problème s'est révélé plus ardu que l'estimation du noyau de la chaleur sur les espaces symétriques non compacts obtenue dans les années 1990-2000 par Jean-Philippe Anker. Des asymptotiques ont été obtenues récemment par Bartosz Trojan dans le cas général.
En collaboration avec P. D'Ancona, Patrick Maheux et Vittoria Pierfelice ont montré des inégalités de type Log-Sobolev pour des produits semi-directs d'opérateurs. Ce résultat s'applique à des opérateurs bien connus comme les opérateur de type Grushin, ou par exemple aussi à certains produits semi-directs des opérateurs de Laplace-Beltrami, définis sur des variétés de type non-compact.
Patrick Maheux a étudié les inégalités fonctionnelles de type Nash, Super Poincaré et super log Sobolev dans un cadre général. En particulier, le transfert de ces inégalités pour les opérateurs subordonnés et d'autres types de fonctions d'un opérateur. Il a aussi étudié les relations entre ces diverses inégalités et obtenu des inégalités de super log Sobolev pour des opérateurs de type Grushin dans un cadre général et appliquées à des cas concrets où l'opérateur peut-être dégénéré.

Analyse harmonique et EDP.

   L'analyse des EDP via l'analyse harmonique est illustrée notamment dans les travaux de Jean-Philippe Anker et Vittoria Pierfelice avec l'étude des équations de Schrödinger, des ondes et de type Klein-Gordon sur certaines variétés non-compactes à courbure négative, en particulier sur l'espace hyperbolique et les espaces de Damek-Ricci (collaboration M. Vallarino), Vittoria Pierfelice et Jean Philippe Anker ont obtenu par exemple des inégalités dispersives et de Strichartz dans le cas linéaire, puis des théorèmes d'existence et d'unicité dans le cas non linéaire. Ces résultats sont meilleurs que dans le cas euclidien (c'est encore plus frappant dans le cas de l'arbre homogène traité par Alaa Jamal Eddine dans sa thèse, co-encadrée par Vittoria Pierfelice et Jean Philippe Anker ). Avec Yannick Sire, Jean Philippe Anker étudie actuellement l'équation de Schrödinger pour le laplacien fractionnaire en courbure négative. Vittoria Pierfelice a pour sa part étudié l'équation de Navier-Stokes sur une classe très générale de variétés non-compactes à courbure négative.
Les travaux de Sandrine Grellier en collaboration avec Patrick Gérard à Orsay concernent l'étude d'une équation modèle dégénérée et sans dispersion "l'équation de Szegö cubique". Ils ont mené à un résultat frappant: la mise en évidence d'un phénomène de turbulence faible pour un système complètement intégrable. Les seuls exemples disponibles dans la littérature de système complètement intégrables ne développaient pas de singularités. L'étude de cette équation, introduite par Patrick Gérard et Sandrine Grellier en 2009, a conduit à la publication de 5 articles et d'un livre soumis. Ce travail a eu un fort retentissement dans la communauté des EDPistes et a été diffusé à un public plus élargi dans un article publié aux actualités scientifiques de l'INSMI et dans un article dans la gazette. Il a par ailleurs permis de résoudre un théorème spectral inverse avec des formules explicites pour les opérateurs de Hankel compacts.