Thématique :

Description de la thématique

   Les résultats obtenus par les membres du groupe thématique \Contrôle et optimisation" concernent la dimension finie et la dimension infinie.

Contrôle et optimisation en dimension finie.

   Sur le plan théorique tout d'abord, E. Trélat a démontré des résultats de généricité sur les trajectoires singulières en contrôle optimal [94, 93] qui ont des conséquences sur la régularité analytique des fonctions valeurs et des solutions de viscosité de certaines classes d'équations d'Hamilton-Jacobi [205, 206] et permettent d'établir des résultats de stabilisation [195, 193, 192, 191].

   Sur le plan applicatif, le groupe est très orienté vers les problèmes issus de l'aéronautique. Depuis plusieurs années M. Haddou travaille en collaboration avec l'INRETS (Lyon) sur le problème de minimisation des nuisances sonores ou polluantes pour des avions commerciaux, co-encadrant les thèses de L. Abdallah, M. Houacine et F. Nahayo, et développant des algorithmes d'optimisation de trajectoire [148, 1, 41, 45]. Il a développé avec M. Bergounioux une méthode de régularisation de problèmes mal posés [52], et avec P. Maheux une méthode de lissage [325].

   E. Trélat est l'un des membres créateurs du pôle OPALE (OPtimisation Appliquée aux Lanceurs Européens), qui est un pôle de compétences entre quelques partenaires universitaires, EADS, le CNES, l'ONERA et l'INRIA. Dans le cadre de ce pôle E. Trélat a travaillé sur plusieurs contrats avec le CNES concernant l'optimisation de trajectoire pour des lanceurs [69, 70, 150] ; il est par ailleurs membre extérieur du projet COMMANDS de l'INRIA Saclay. Ses travaux ont également porté sur la dynamique céleste (livre [216]), les aspects géométriques des équations du transfert orbital [239], la dynamique chaotique au voisinage des points de Lagrange [295].

   Sur le plan numérique, le traitement de problèmes de contrôle optimal issus de l'aéronautique, tels que le problème de transfert orbital, requiert le développement de méthodes numériques pointues. T. Haberkorn et E. Trélat ont élaboré un logiciel très efficace pour gérer le lancement des fusées Ariane 5, dans le cadre de contrats avec EADS (travaux confidentiels interdits à la publication). Ce logiciel est basé sur l'utilisation conjointe d'une méthode de tir (utilisant le principe du maximum de Pontryagin) et de méthodes de continuation, dont ils sont des spécialistes. T. Haberkorn a développé dans [136, 137] des algorithmes d'homotopie différentielle, et a conçu dans [244, 245, 96, 97, 95, 98] des stratégies de contrôle optimal, basées sur des considérations géométriques, qui sont efficaces pour des problèmes présentant un grand nombre de commutations, et qu'il a notamment appliquées avec succès à un problème de sous-marin autonome (collaboration avec l'Univ. de Hawaii). E. Trélat a développé dans [71, 240] des algorithmes de méthode de tir et de calcul de points conjugués dans le cas lisse. Les problèmes de contrôle optimal dits \bang-bang" où les contrôles ne sont pas lisses soulèvent des problèmes numériques, et E. Trélat a développé avec son étudiante en thèse C. Silva dans [347] une méthode de régularisation permettant de se ramener au cas lisse.

Contrôle et optimisation en dimension infinie.

   M. Bergounioux a poursuivi ses activités de recherche autour du contrôle optimal des inéquations variationnelles et quasi-variationnelles [13] et la thèse de R. Ghanem a permis d'affiner des résultats d'optimalité obtenus antérieurement dans le cadre du contrôle des problèmes d'obstacle [138].

   E. Trélat a démontré des propriétés de contrôlabilité sur équations de Navier-Stokes [102, 200, 247, 248], des ondes semilinéaires [101], et sur des nanofils ferromagnétiques [81, 80] dans le cadre du projet ANR SICOMAF, et l'année de postdoc de Y. Privat a permis des avancées notables dans le projet.

   Utilisant et développant la théorie des inégalités de Carleman, J. Le Rousseau a obtenu des résultats de contrôlabilité dans le cas parabolique, référencés dans la thématique Equations aux Dérivées Partielles.

   La réalisation pratique, numérique, de la contrôlabilité soulève des problèmes difficiles de convergence. E. Trélat et J. Le Rousseau ont démontré divers résultats de contrôlabilité, uniformes par rapport aux paramètres de discrétisation, et avec estimations d'erreurs pour le calcul effectif du contrôle par une procédure de minimisation de type HUM. Dans cette optique, les travaux d'E. Trélat [220, 164] sont basés sur la théorie générale des semi-groupes, alors que les travaux de J. Le Rousseau [74] utilisent des inégalités de Carleman discrètes obtenues d'abord en 1D [73] puis en multi-D [75] sur des opérateurs elliptiques et qui sont en cours de développement pour les opérateurs paraboliques [334] dans le cadre du projet ANR CoNum.

   En relation avec ces problèmes d'uniformité, E. Trélat a développé une collaboration avec l'Univ. de Melbourne sur des questions de sampling des EDP contrôlées [270, 347].

Perspectives

   Dans le cadre du cluster Transport (région Rhone-Alpes) et de sa collaboration avec l'INRETS Lyon, M. Haddou co-encadre actuellement deux thèses. Un premier projet est de modéliser et d'utiliser des techniques d'optimisation pour réduire les émissions et dispersions de polluants atmosphériques des avions dans les couches atmosphériques supérieures. Un second est de modéliser l'impact climatique par le forçage radiatif d û à O³, CH₄ et aux traînées de condensation.

   T. Haberkorn et E. Trélat collaborent sur des problèmes de contrôle optimal non lisses ou hybrides, une application étant notamment le problème de transfert orbital avec contrainte de cône d'ombre. Ils poursuivent également leur collaboration avec EADS, notamment avec M. Cerf (ingénieur EADS), sur différents problèmes (lanceurs Ariane, transfert orbital, études de robustesse), et ce dernier devrait à terme soutenir une thèse sous leur direction.

   C.J. Silva va soutenir sa thèse (dirigée par E. Trélat) fin 2010, des articles sur la régularisation des temps conjugués bang-bang sont en cours de rédaction.

   E. Trélat a commencé une collaboration avec V. Zeidan (EU) sur le principe du maximum pour les times-scales.

   Sylvain Arguillère, élève de l'ENS Ulm en 3ème année, fera une thèse sous la direction d'E. Trélat à partir de septembre 2010, sur la géométrie sous-Riemannienne, les opérateurs hypoelliptiques, avec applications en imagerie.

Dimension infinie.

   En vue d'obtenir des conditions d'optimalité pour le contrôle optimal de problèmes gouvernés par des inéquations quasi-variationnelles, M. Bergounioux cherche à établir des propriétés fines de continuité et de compacité dans un contexte multivoque.

   En liaison avec la thématique Traitement d'Images, des résultats prometteurs sont envisageables dans un problème de tomographie thermo-acoustique qui s'exprime comme un problème de contrôle optimal d'une équation des ondes, nécessitant un travail de modélisation et d'implémentation numé\-rique.

   Dans le cadre de la thèse de T. Nguyen, J. Le Rousseau et E. Trélat envisagent d'utiliser des inégalités de Carleman discrètes pour des problèmes non linéaires. J. Le Rousseau a également commencé un travail plus qualitatif sur des méthodes d'estimations numériques de la constante d'observabilité pour les problèmes considérés (collaboration avec F. Boyer et F. Hubert, Univ. Marseille).

   Dans la suite du projet ANR SICOMAF, E. Trélat poursuit, en collaboration, ses travaux sur le contrôle en micromagnétisme. Le dépôt d'un projet ANR blanc est envisagé avec l'industriel Dassault, intéressé par ce genre d'étude en vue d'applications pour l'enregistrement magnétique.

   E. Trélat poursuit sa collaboration avec l'Univ. de Melbourne sur le sampling des EDP contrôlées. Un projet de collaboration franco-australienne vient d' être déposé.

   S. Cordier et E. Trélat ont un projet commun sur la mise en oeuvre numérique de la contrôlabilité sur les équations de Saint-Venant avec contrôles frontières.

   E. Trélat participe à une équipe-projet de l'INRIA Saclay, appelé GECO (GEometric COntrol) qui vient d' être acceptée et dont il sera membre associé à partir de septembre 2010.

   M. Bergounioux et Y. Privat ont entamé une collaboration autour d'un problème d'optimisation de forme dans un contexte mécanique des fluides. Il s'agit de trouver la forme optimale d'un objet à symétrie cylindrique dans lequel évolue un fluide régi par les équations de Stokes.

   J. Le Rousseau et E. Trélat organisent, à l'automne 2010, un trimestre (voir la page web CPDEA) à l'IHP sur le contrôle des EDP. Cet évènement majeur va regrouper les chercheurs les plus éminents en contrôle des EDP. Il est prévu 4 cours de master ainsi que 4 colloques. L'organisation de l'ensemble de ce trimestre est un travail très considérable, tant du point de vue scientifique que du point de vue administratif (gestion des personnes, des budgets, etc).