Thématique :

Description de la thématique

   Les résultats obtenus par les membres du groupe thématique \Contrôle et optimisation" concernent la dimension finie et la dimension infinie.

Contrôle et optimisation en dimension finie.

   Sur le plan théorique tout d'abord, E. Trélat a démontré des résultats de généricité sur les trajectoires singulières en contrôle optimal [94, 93] qui ont des conséquences sur la régularité analytique des fonctions valeurs et des solutions de viscosité de certaines classes d'équations d'Hamilton-Jacobi [205, 206] et permettent d'établir des résultats de stabilisation [195, 193, 192, 191].

   Sur le plan applicatif, le groupe est très orienté vers les problèmes issus de l'aéronautique. Depuis plusieurs années M. Haddou travaille en collaboration avec l'INRETS (Lyon) sur le problème de minimisation des nuisances sonores ou polluantes pour des avions commerciaux, co-encadrant les thèses de L. Abdallah, M. Houacine et F. Nahayo, et développant des algorithmes d'optimisation de trajectoire [148, 1, 41, 45]. Il a développé avec M. Bergounioux une méthode de régularisation de problèmes mal posés [52], et avec P. Maheux une méthode de lissage [325].

   E. Trélat est l'un des membres créateurs du pôle OPALE (OPtimisation Appliquée aux Lanceurs Européens), qui est un pôle de compétences entre quelques partenaires universitaires, EADS, le CNES, l'ONERA et l'INRIA. Dans le cadre de ce pôle E. Trélat a travaillé sur plusieurs contrats avec le CNES concernant l'optimisation de trajectoire pour des lanceurs [69, 70, 150] ; il est par ailleurs membre extérieur du projet COMMANDS de l'INRIA Saclay. Ses travaux ont également porté sur la dynamique céleste (livre [216]), les aspects géométriques des équations du transfert orbital [239], la dynamique chaotique au voisinage des points de Lagrange [295].

   Sur le plan numérique, le traitement de problèmes de contrôle optimal issus de l'aéronautique, tels que le problème de transfert orbital, requiert le développement de méthodes numériques pointues. T. Haberkorn et E. Trélat ont élaboré un logiciel très efficace pour gérer le lancement des fusées Ariane 5, dans le cadre de contrats avec EADS (travaux confidentiels interdits à la publication). Ce logiciel est basé sur l'utilisation conjointe d'une méthode de tir (utilisant le principe du maximum de Pontryagin) et de méthodes de continuation, dont ils sont des spécialistes. T. Haberkorn a développé dans [136, 137] des algorithmes d'homotopie différentielle, et a conçu dans [244, 245, 96, 97, 95, 98] des stratégies de contrôle optimal, basées sur des considérations géométriques, qui sont efficaces pour des problèmes présentant un grand nombre de commutations, et qu'il a notamment appliquées avec succès à un problème de sous-marin autonome (collaboration avec l'Univ. de Hawaii). E. Trélat a développé dans [71, 240] des algorithmes de méthode de tir et de calcul de points conjugués dans le cas lisse. Les problèmes de contrôle optimal dits \bang-bang" où les contrôles ne sont pas lisses soulèvent des problèmes numériques, et E. Trélat a développé avec son étudiante en thèse C. Silva dans [347] une méthode de régularisation permettant de se ramener au cas lisse.

Contrôle et optimisation en dimension infinie.

   M. Bergounioux a poursuivi ses activités de recherche autour du contrôle optimal des inéquations variationnelles et quasi-variationnelles [13] et la thèse de R. Ghanem a permis d'affiner des résultats d'optimalité obtenus antérieurement dans le cadre du contrôle des problèmes d'obstacle [138].

   E. Trélat a démontré des propriétés de contrôlabilité sur équations de Navier-Stokes [102, 200, 247, 248], des ondes semilinéaires [101], et sur des nanofils ferromagnétiques [81, 80] dans le cadre du projet ANR SICOMAF, et l'année de postdoc de Y. Privat a permis des avancées notables dans le projet.

   Utilisant et développant la théorie des inégalités de Carleman, J. Le Rousseau a obtenu des résultats de contrôlabilité dans le cas parabolique, référencés dans la thématique Equations aux Dérivées Partielles.

   La réalisation pratique, numérique, de la contrôlabilité soulève des problèmes difficiles de convergence. E. Trélat et J. Le Rousseau ont démontré divers résultats de contrôlabilité, uniformes par rapport aux paramètres de discrétisation, et avec estimations d'erreurs pour le calcul effectif du contrôle par une procédure de minimisation de type HUM. Dans cette optique, les travaux d'E. Trélat [220, 164] sont basés sur la théorie générale des semi-groupes, alors que les travaux de J. Le Rousseau [74] utilisent des inégalités de Carleman discrètes obtenues d'abord en 1D [73] puis en multi-D [75] sur des opérateurs elliptiques et qui sont en cours de développement pour les opérateurs paraboliques [334] dans le cadre du projet ANR CoNum.

   En relation avec ces problèmes d'uniformité, E. Trélat a développé une collaboration avec l'Univ. de Melbourne sur des questions de sampling des EDP contrôlées [270, 347].