Thématique : Equations aux Dérivées Partielles

Membres permanents : Jean-Philippe Anker, Stéphane Cordier, Sandrine Grellier, Nathalie Grenon, Michèle Grillot, Philippe Grillot, Luc Hillairet, François James, Carine Lucas, Patrick Maheux, Simona Mancini, Kim Dang Phung, Vitoria Pierfelice.

Description de la thématique

   Les EDPs sont une discipline à part entière mais aussi un champ d'applications de nombreuses autres branches des mathématiques. Cela transparaît ici : l'activité de recherche en EDP de plusieurs enseignants-chercheurs est renvoyée à d'autres sections du rapport.


EDP et contrôle.

   Kim Dang Phung a étudié le contrôle des équations de la chaleur non linéaire: stabilisation de la chaleur par un peigne de Dirac en temps (en cours avec G. Wang et Y. Xu) et continuation unique des équations de transport de la neutronique.
Jérôme Le Rousseau poursuit ses travaux sur les inégalités de Carleman avec notamment leur obtention dans des problèmes avec des conditions au bord générales de type Lopantinskii, ou dans des problèmes de transmission elliptiques ou paraboliques. Les opérateurs d'ordres élevés sont aussi étudiés, comme le bilaplacien.
En contrôle des EDP, pour l'équation des ondes Rémi Buffe, en thèse sous la direction de Jérôme Le Rousseau, a obtenu des résultats de stabilisation pour des conditions de type Ventcel au bord. Pour des systèmes d'ondes, des résultats ont été obtenus avec caractérisation microlocale d'une condition géométrique de contrôle. Jérôme Le Rousseau s'oriente aussi vers la contrôlabilité des équations hypoelliptiques, en particulier avec des résultats sur l'équation de Kolmogorov.

EDP non linéaires.

   L'activité de recherche de M.Grillot et Ph.Grillot s'est concentrée sur deux axes. Le premier concerne l'étude théorique de solutions d'une équation parabolique quasi-linéaire avec des conditions de Robin au bord d'un ouvert borné. Dans deux publications, des conditions suffisantes sur les coefficients de l'équation sont respectivement données pour obtenir des solutions bornées ou des solutions qui explosent en temps fini. Le comportement asymptotique des solutions est alors également obtenu.
Le second porte sur un travail en collaboration avec S. Mancini, à la frontière des domaines Analyse et Modélisation du laboratoire. Nous renvoyons à la section Modélisation pour plus de détails sur ces travaux.
En collaboration avec des physiciens théoriciens, Olivier Vallée et Christophe Letellier, Ph. Grillot a examiné les solutions de propagation d'une généralisation par Benney de l'équation de Kuramoto-Sivashinsky. Il a démontré que le terme introduit par Benney a une action stabilisatrice sur les solutions.

EDP et analyse harmonique.

   Pour cette section d'interaction entre l'analyse harmonique et les EDP, concernant les travaux de J.-Ph. Anker, S. Grellier et les travaux de V. Pierfelice, nous renvoyons à la section Analyse Harmonique du rapport.

Théorie spectrale.

   Cette thématique est renforcée au laboratoire par le recrutement de L. Hillairet en septembre 2012. Elle présente naturellement des interactions possibles avec les thématiques EDP, analyse harmonique, systèmes dynamiques voire algèbre d'opérateurs. Les travaux de L. Hillairet sur la période se développe autour de trois axes. Le premier, en collaboration avec C. Judge, vise à établir des propriétés spectrales génériques d'opérateurs de type Laplacien sur des domaines géométriques dépendant d'un nombre fini de paramètres (par exemple les triangles euclidiens ou hyperboliques). La deuxième direction, en collaboration avec A. Kokotov et V. Kalvin vise à établir des liens entre les propriétés spectrales de métriques plates à singularités coniques et la structure complexe sous-jacente. Plus précisément, étant donnée une 1-forme holomorphe ou méromorphe ω sur une surface de Riemann X, la métrique |ω|2 est plate à singularités coniques et on peut étudier la façon dont le déterminant régularisé du Laplacien associé varie sur l'espace des modules du couple (X,ω). Deux prépublications étudient ce type de problèmes pour certains types de différentielles méromorphes. Une des difficultés à surmonter est que dans ces cas la métrique associée fait de X une surface non-compacte. Il s'agit donc dans un premier temps de montrer comment définir un déterminant régularisé. Le troisième thème est une collaboration avec E. Trélat et Y. Colin de Verdière autour de la géométrie sous-riemannienne. Il s'agit d'étendre à ce cadre géométriquement très pertinent les résultats classiques en géométrie spectrale riemannienne notamment autour de l'ergodicité quantique et des mesures semiclassiques. Dans une prépublication un théorème d'ergodicité quantique est montré pour les variétés de dimension 3 munies d'une structure de contact sous-riemannienne. Une des nouveautés est que le flot classique pertinent pour l'ergodicité quantique n'est pas le flot sous-riemannien mais le flot de Reeb. Dans des situations plus générales, l'identification du flot pertinent reste à faire.
En plus de ces trois axes principaux, L. Hillairet a aussi continué ses travaux d'une part sur la propagation des ondes avec des singularités coniques et des mesures semiclassiques. Toutes ces collaborations ont des prolongements naturels qui seront explorés dans les années à venir. On peut par exemple mentionner l'extension des résultats avec A. Kokotov pour retrouver des formules de la littérature physique sur les fibrés de spineurs, une étude systématique de l'ergodicité quantique sous-riemannienne. Cette dernière thématique trouve aussi des résonances avec l'étude des mesures semiclassiques et notamment les travaux récents de Anantharaman-Maci\'a-Léautaud et Maci\'a-Rivière autour d'une seconde microlocalisation. Il est tentant d'essayer de relier ces différentes approches. Notons enfin que cette thématique des mesures semiclassiques est naturellement proche de l'axe EDP et contrôle du laboratoire.