Thématique : Equations aux Dérivées Partielles

Description de la thématique

   Les EDPs sont une discipline à part entière mais aussi un champ d'applications de nombreuses autres branches des mathématiques. Cela transparaît ici : l'activité de recherche en EDP de plusieurs enseignants-chercheurs est renvoyée à d'autres sections du rapport.

EDP non linéaires.

   M. Grillot et P. Grillot ont étudié le comportement asymptotique de solutions d'équations elliptiques semi-linéaires dégénérées et qui explosent sur le bord d'un domaine borné. Ils ont généralisé des résultats de C. Bandle en obtenant le second terme de ce comportement qui dépend étroitement de la courbure moyenne du bord de l'ouvert [147].

Estimations dispersives pour les équations des ondes et de Schrödinger.

   V. Pierfelice a concentré une partie de son activité de recherche sur l'étude des propriétés dispersives des équations des ondes et de Schrödinger perturbées par des potentiels, soit sur Rⁿ, soit sur des variétés plus générales. Dans [189], la régularité minimale d'une classe assez large de potentiels singuliers est exhibée, pour laquelle les solutions de l'équation des ondes perturbées vérifient les estimations dispersives. Dans la même direction, l'équation de Schröndiger est traitée dans [187, 188, 111]. Dans [188], en collaboration avec Patrick Gérard (Paris Sud) V. Pierfelice a obtenu un résultat d'existence globale pour l'équation de Schrödinger non-linéaire sur des varietés compactes de dimension 4 avec non-linéarité du type Hartree et données initiales de basse régularité. Ces résultats reposent sur des nouvelles estimations multilinéaires de type Strichartz pour le groupe de Schrödinger. Nous renvoyons aussi à la section Analyse Harmonique de ce rapport sur ces questions.

   En collaboration avec Piero D'Ancona (Université Roma La Sapienza, Italie) et Fulvio Ricci (SNS Pisa, Italie), V. Pierfelice a obtenu dans [110] des estimations de Strichartz pour l'équation de Schrödinger et des ondes associées au twisted Laplacian. L'intérêt d'étudier cet opérateur vient aussi du fait qu'il peut se voir comme une perturbation du Laplacien par un potentiel magnétique dans le cas plat.

EDP et analyse harmonique.

   Pour cette section d'interaction entre l'analyse harmonique et les EDP, concernant les travaux de J.-Ph. Anker, S. Grellier, P. Maheux et une partie des travaux de V. Pierfelice, nous renvoyons à la thématique Analyse Harmonique.

EDP, modélisation et calcul scientifique.

   Pour les activités scientifiques autour des EDPs dans le cadre du projet ANR METHODE (équation de type Saint-Venant) nous renvoyons à la thématique Modélisation et Calcul.

   On notera ici que C. Lucas a complété ses travaux sur l'effet cosinus (voir la thématique Modélisation et Calcul), par des résultats d'existence sur les équations de Saint-Venant [174]. Par ailleurs, avec J. de D. Zabsonré (Ouagadougou, Burkina Faso) et E. D. Fernandez-Nieto (Séville, Espagne) dans [212], elle a écrit un nouveau modèle de sédimentation avec viscosité, pour lequel elle obtient des inégalités d'énergie. Ce travail a été poursuivi avec J. McWilliams et son équipe (UCLA, USA) en utilisant une approche multi-échelles (la mise en œuvre numérique est cours de réalisation).

Equations cinétiques.

   Pour les travaux de S. Cordier et S. Mancini sur les équations cinétiques, typiquement Fokker-Planck associées à des ODE stochastiques et appliqués à des modèles de Neurosciences (évolution de populations de neurones, dans le cadre du projet ANR MANDy en collaboration avec J.A. Carrillo, [83]) ou encore en économie (collaboration avec L. Pareschi et C. Piatecki, [100, 221] ), nous renvoyons à la thématique Mécanique Statistique.

Equations de dislocation.

   Les travaux de A. El Hajj, ATER de 2007 à 2009, ont porté autour des équations de dislocation. Ces travaux sont pour la plupart en collaboration avec R. Monneau (CERMICS).

Analyse microlocale.

   Une partie des travaux de J. Le Rousseau concerne des représentations de solutions d'EDP d'évolution par multi-produits d'opérateurs. Il a montré que les solutions d'équations et de systèmes hyperboliques peuvent s'écrire comme limites de multi-produits d'opérateurs intégraux de Fourier [165, 166, 169, 170] avec convergence au sens des espaces de Sobolev ainsi qu'au niveau du frontd'onde des solutions. Ce type d'approche, qui trouve ces origines dans des travaux de géophysiciens, permet aussi des développements numériques. Avec H. Isozaki (Univ. Tsukuba, Japon), J. Le Rousseau a montré que ce type d'approche peut s'étendre aux équations paraboliques dans Rn ou sur les variétés [153].

Inégalités fonctionnelles, applications au contrôle et aux problèmes inverses.

   Une partie des travaux de J. Le Rousseau concerne les opérateurs elliptiques et paraboliques pour lesquelles le coefficient dans la partie principale présente des sauts. En dimension un d'espace, ils a démontré une inégalité de Carleman pour des coefficients C1 par morceaux [34, 35] avec une extension à des coefficients à variations bornées (BV) par passage à la limite [167, 168]. Les inégalités de Carleman pour les opérateurs paraboliques et elliptiques donnent des résultats dans les domaines suivants : quantification du prolongement unique, contrôle des équations paraboliques linéaires et semi-linéaires, problèmes inverses d'identification de coefficients, avec dans ce dernier cas des résultats de stabilité. En dimension quelconque, un résultat de stabilité pour l'identification du coefficient régulier par morceaux a été obtenu [37]. Ces travaux sont en collaboration avec le LATP à Marseille (A. Benabdallah, Y. Dermenjian et P. Gaitan). J. Le Rousseau et L. Robbiano (Versailles) ont relaxé une hypothèse sur le signe du saut du coefficient dans le cas d'opérateurs elliptiques et parabolique et ont démontré des inégalités de Carleman [171, 334].

   Pour des développements sur les inégalités de Carleman dans la cadre d'opérateurs discrétisés nous renvoyons à la thématique Contrôle et Optimisation.

Perspectives

   La participation de M. Grillot et P. Grillot au séminaire d'analyse du LMPT à Tours depuis septembre 2008 a permis un rapprochement sur certaines théma\-tiques. Ils étudient des résultats de L. Véron et V.A. Kondratiev d'existence et de comportement asymptotique de solutions d'équations paraboliques semi-linéaires avec conditions de Neumann pour les étendre à des équations quasi-linéaires, type p-laplacien, avec des conditions de Robin. Ce travail, en cours de rédaction, a été présenté aux Journées EDP de Tétouan au Maroc en avril 2009.

EDP et analyse harmonique.

   Pour les travaux en cours de V. Pierfelice sur les estimations dispersives des EDP (ondes, Schrödinger) nous renvoyons à la section Analyse Harmonique.
EDP, modélisation et calcul scientifique.

   En collaboration avec D. Bresch (Chambéry) et R. Klein (Berlin, Allemagne), C. Lucas étudie actuellement une approche multi-échelle des équations de Saint-Venant \cite{hal-00442344}.

   F.James, en collaboration avec Nicolas Vauchelet (Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6), s'intéresse depuis peu à des modèles mathématiques en biologie (chemotaxis). Ils étudient en particulier un modèle cinétique couplé à une équation elliptique, dont la limite hydrodynamique fait intervenir des solutions mesures pour une équation de conservation linéaire, mises en \oe uvre précédemment par F.Bouchut et F. James.

   Dans le cadre du projet MIT-France "Improved Imaging in Non-Smooth Media" J. Le Rousseau travaille en collaboration avec A. Malcolm (MIT, USA) sur des équations des ondes dites "one-way" modélisant la propagation des ondes dans une seule direction. Ces équations et leurs solutions sont utilisées en imagerie sismique. Ils étudient actuellement des PMLs (perfectly matched layers) pour ces équations. Le but est de développer ensuite des codes de calcul en domaines finis capables de simuler une propagation en milieu infini. Les solutions de ces équations one-way ont la structure d'opérateurs intégraux de Fourier mais dans certaines directions (microlocales) les symboles et la phase peuvent "mal" se comporter. Cela limite le développement d'un calcul. Des approches par développements en séries de symboles élémentaires sont envisagées.

   Nous renvoyons aussi à la section Modélisation et Calcul\ pour une partie du programme de recherche de cette thématique EDP.

Inégalités fonctionnelles, applications au contrôle et aux problèmes inverses.

   Les travaux actuels de J. Le Rousseau sur les inégalités de Carleman discrètes et leur application à la contrôlabilité uniforme des équations paraboliques semi-discrètes et discrètes, dans le cadre du projet ANR CoNUM, sont décrits dans la section Contrôle et Optimisation.

   Dans le cadre de sa thèse, co-encadrée par J. Le Rousseau et O. Glass (Paris Dauphine), M. Léautaud (Paris 6) travaille sur des inégalités spectrales pour opérateurs non autoadjoints. Ce sujet est d'actualité pour l'étude de la contrôlabilité des systèmes. Les outils permettant la démonstration des ces inégalités spectrales sont les inégalités de Carleman.

   Les inégalités de Carleman sont aussi étudiés par J. Le Rousseau dans le cas de milieu anisotropes avec coefficients non réguliers en collaboration avec N. Lerner (Paris 6) et dans le cas de géométries complexes avec A. Benabdallah et Y. Dermenjian (Aix-Marseille 1): interface à coins, interface rencontrant le bord. En collaboration avec L. Robbiano (Versailles) et M. Léautaud ils étudient aussi des phénomènes de diffusion en codimension 1 et les propriétés de prolongement unique/contrôle des opérateurs associés. J. Le Rousseau a pour projet la rédaction d'un ouvrage sur les inégalités de Carleman et leurs applications, en collaboration avec G. Lebeau (Nice) et L. Robbiano, qui ferait suite à l'article de revue \cite{hal-00351736}.