Thématique : Equations aux Dérivées Partielles

Description de la thématique

   Les EDPs sont une discipline à part entière mais aussi un champ d'applications de nombreuses autres branches des mathématiques. Cela transparaît ici : l'activité de recherche en EDP de plusieurs enseignants-chercheurs est renvoyée à d'autres sections du rapport.

EDP non linéaires.

   M. Grillot et P. Grillot ont étudié le comportement asymptotique de solutions d'équations elliptiques semi-linéaires dégénérées et qui explosent sur le bord d'un domaine borné. Ils ont généralisé des résultats de C. Bandle en obtenant le second terme de ce comportement qui dépend étroitement de la courbure moyenne du bord de l'ouvert [147].

Estimations dispersives pour les équations des ondes et de Schrödinger.

   V. Pierfelice a concentré une partie de son activité de recherche sur l'étude des propriétés dispersives des équations des ondes et de Schrödinger perturbées par des potentiels, soit sur Rⁿ, soit sur des variétés plus générales. Dans [189], la régularité minimale d'une classe assez large de potentiels singuliers est exhibée, pour laquelle les solutions de l'équation des ondes perturbées vérifient les estimations dispersives. Dans la même direction, l'équation de Schröndiger est traitée dans [187, 188, 111]. Dans [188], en collaboration avec Patrick Gérard (Paris Sud) V. Pierfelice a obtenu un résultat d'existence globale pour l'équation de Schrödinger non-linéaire sur des varietés compactes de dimension 4 avec non-linéarité du type Hartree et données initiales de basse régularité. Ces résultats reposent sur des nouvelles estimations multilinéaires de type Strichartz pour le groupe de Schrödinger. Nous renvoyons aussi à la section Analyse Harmonique de ce rapport sur ces questions.

   En collaboration avec Piero D'Ancona (Université Roma La Sapienza, Italie) et Fulvio Ricci (SNS Pisa, Italie), V. Pierfelice a obtenu dans [110] des estimations de Strichartz pour l'équation de Schrödinger et des ondes associées au twisted Laplacian. L'intérêt d'étudier cet opérateur vient aussi du fait qu'il peut se voir comme une perturbation du Laplacien par un potentiel magnétique dans le cas plat.

EDP et analyse harmonique.

   Pour cette section d'interaction entre l'analyse harmonique et les EDP, concernant les travaux de J.-Ph. Anker, S. Grellier, P. Maheux et une partie des travaux de V. Pierfelice, nous renvoyons à la thématique Analyse Harmonique.

EDP, modélisation et calcul scientifique.

   Pour les activités scientifiques autour des EDPs dans le cadre du projet ANR METHODE (équation de type Saint-Venant) nous renvoyons à la thématique Modélisation et Calcul.

   On notera ici que C. Lucas a complété ses travaux sur l'effet cosinus (voir la thématique Modélisation et Calcul), par des résultats d'existence sur les équations de Saint-Venant [174]. Par ailleurs, avec J. de D. Zabsonré (Ouagadougou, Burkina Faso) et E. D. Fernandez-Nieto (Séville, Espagne) dans [212], elle a écrit un nouveau modèle de sédimentation avec viscosité, pour lequel elle obtient des inégalités d'énergie. Ce travail a été poursuivi avec J. McWilliams et son équipe (UCLA, USA) en utilisant une approche multi-échelles (la mise en œuvre numérique est cours de réalisation).

Equations cinétiques.

   Pour les travaux de S. Cordier et S. Mancini sur les équations cinétiques, typiquement Fokker-Planck associées à des ODE stochastiques et appliqués à des modèles de Neurosciences (évolution de populations de neurones, dans le cadre du projet ANR MANDy en collaboration avec J.A. Carrillo, [83]) ou encore en économie (collaboration avec L. Pareschi et C. Piatecki, [100, 221] ), nous renvoyons à la thématique Mécanique Statistique.

Equations de dislocation.

   Les travaux de A. El Hajj, ATER de 2007 à 2009, ont porté autour des équations de dislocation. Ces travaux sont pour la plupart en collaboration avec R. Monneau (CERMICS).

Analyse microlocale.

   Une partie des travaux de J. Le Rousseau concerne des représentations de solutions d'EDP d'évolution par multi-produits d'opérateurs. Il a montré que les solutions d'équations et de systèmes hyperboliques peuvent s'écrire comme limites de multi-produits d'opérateurs intégraux de Fourier [165, 166, 169, 170] avec convergence au sens des espaces de Sobolev ainsi qu'au niveau du frontd'onde des solutions. Ce type d'approche, qui trouve ces origines dans des travaux de géophysiciens, permet aussi des développements numériques. Avec H. Isozaki (Univ. Tsukuba, Japon), J. Le Rousseau a montré que ce type d'approche peut s'étendre aux équations paraboliques dans Rn ou sur les variétés [153].

Inégalités fonctionnelles, applications au contrôle et aux problèmes inverses.

   Une partie des travaux de J. Le Rousseau concerne les opérateurs elliptiques et paraboliques pour lesquelles le coefficient dans la partie principale présente des sauts. En dimension un d'espace, ils a démontré une inégalité de Carleman pour des coefficients C1 par morceaux [34, 35] avec une extension à des coefficients à variations bornées (BV) par passage à la limite [167, 168]. Les inégalités de Carleman pour les opérateurs paraboliques et elliptiques donnent des résultats dans les domaines suivants : quantification du prolongement unique, contrôle des équations paraboliques linéaires et semi-linéaires, problèmes inverses d'identification de coefficients, avec dans ce dernier cas des résultats de stabilité. En dimension quelconque, un résultat de stabilité pour l'identification du coefficient régulier par morceaux a été obtenu [37]. Ces travaux sont en collaboration avec le LATP à Marseille (A. Benabdallah, Y. Dermenjian et P. Gaitan). J. Le Rousseau et L. Robbiano (Versailles) ont relaxé une hypothèse sur le signe du saut du coefficient dans le cas d'opérateurs elliptiques et parabolique et ont démontré des inégalités de Carleman [171, 334].

   Pour des développements sur les inégalités de Carleman dans la cadre d'opérateurs discrétisés nous renvoyons à la thématique Contrôle et Optimisation.