Thématique : Géométrie des Groupes
Membres permanents : Aurélien Alvarez, Indira Chatterji.
Description de la thématique
La thématique Théorie Géométrique des Groupes présente des liens importants avec la thématique Algèbres d'Opérateurs. Nous avons un groupe de travail commun hebdomadaire. Elle est liée aussi avec la thématique Analyse Complexe et Systèmes Dynamiques.
Théorie mesurée des groupes.
C'est le thème des résultats présentés dans [18] et [19], en lien avec les algèbres d'opérateurs, ainsi que des systèmes dynamiques. L'action d'un groupe sur un espace donne naturellement naissance à une relation d'équivalence (la partition de l'espace en orbites) et tout le thème de l'équivalence orbitale est de comprendre la nature d'une telle partition, en particulier en présence d'une mesure de probabilité. Ce type de questions remonte aux travaux de Murray et von Neumann dans les années 1930-40 et a pris un intérêt considérable ces dix dernières années. Des problèmes difficiles ont pu être résolus récemment grâce à des outils de nature algébrique dont l'origine est dans le travail de Margulis puis Zimmer, grâce aux travaux importants des années 1980-90 en algèbres d'opérateurs à la suite de Connes mais aussi grâce aux probabilités après Voiculescu et à la percolation notamment. La thèse d'Alvarez introduit des outils de nature géométrico-combinatoire pour étudier certaines classes de relations d'équivalence, en particulier les relations dites arborables.
Groupes linéaires et groupes de Lie.
C'est l'étude de groupes structurellement assez riches, ainsi que de leurs sous-groupes discrets. Tal Poznansky [344] montre qu'un groupe linéaire a une C*-algèbre réduite simple si et seulement si il ne possède pas de sous-groupe normal moyennable. Il répond ainsi à une question ouverte depuis plus de 10 ans. Dans [308] on répond partiellement à une question de Nori, qui est de comprendre la structure des sous-groupes discrets Zariski denses dans des groupes de Lie semi-simples. Dans [307], les auteurs classifient les groupes de Lie dont toute la cohomologie Borélienne à coefficients entiers, est bornée.
Espaces métriques.
Il s'agit de l'étude de la structure de groupes agissant par isométries sur un espace métrique, à travers la structure métrique de cet espace. Ainsi dans [86] on donne une nouvelle caractérisation de la propriété (T), dans [90] une nouvelle caractérisation de l'hyperbolicité. Au contraire, dans [87] on donne une présentation explicite de groupe qui n'agissent sur aucun espace métrique raisonnable, exhibant ainsi un groupe pour lequel de nombreuses conjectures sont ouvertes.
