Thématique : Mécanique Statistique

Description de la thématique

   La thématique Mécanique Statistique s'est renforcée avec les recrutements de Pierre Andreoletti et Nils Berglund. Elle présente des liens importants avec la thématique Processus Stochastiques ainsi qu'avec les thématiques Equations aux Dérivées Partielles et Modélisation et Calcul.

Métastabilité.

   La métastabilité est un phénomène de mécanique statistique hors équilibre, passablement étudié dans le cas de modèles discrets (chaînes de Markov, cf. les travaux de E. Olivieri et M.-E. Varès ainsi que F. den Hollander pour une revue), et de systèmes d'équations différentielles stochastiques de dimension finie (travaux de Bovier et collaborateurs notamment). Dans [46, 47], N. Berglund, B. Fernandez (Marseille) et B. Gentz (Bielefeld) ont introduit un modèle naturel permettant de passer à la limite de dimension infinie [48]. L'étude des bifurcations dans le modèle les a amenés à étendre les résultats existants (loi de Kramers) à des situations avec potentiels non quadratiques [49].

Systèmes de particules.

   P. Andreoletti s'intéresse aux systèmes unidimensionnels de particules en milieu aléatoire. Pour le cas de particules indépendantes avec potentiel de Sinai il a montré qu'il y avait localisation des particules dans le fond des vallées et obtenu la limite en loi du système [26]. Les travaux de D. Lépingle sur les particules Browniennes sont référencés dans la thématique Processus Stochastiques.

Percolation.

   Dans [44], J.-B. Gouéré, J. Bérard (Lyon 1) et D. Piau (Grenoble 1) ont étudié une classe de modèles markoviens d'évolution de l'ADN contenant plusieurs modèles récemment introduits et étudiés empiriquement par des biologistes. L'article [140] porte sur le modèle de compétition introduit par Häggström et Pemantle en 1998 et sur des modèles similaires. Dans [141], il est montré qu'il existe une phase sous-critique dans le modèle booléen de percolation continue si et seulement si le volume moyen des boules était fini. Le caractère nécessaire de cette condition avait été établi par Hall en 1985. L'article [143] est un prolongement de [141] dans lequel on étudie des modèles plus généraux, notamment des modèles avec dépendance. Dans [142], J.-B. Gouéré et R. Marchand (Nancy 1) donnent des minorations de la constante de temps dans un modèle de percolation de premier passage introduit récemment par Deijfen.

Théorie cinétique.

   S. Cordier s'intéresse à des applications de modèles cinétiques en économie. Il s'agit d'utiliser le formalisme des opérations de collisions de la théorie cinétique pour décrire les échanges économiques. La fonction de distribution représente alors la répartition de richesses et les collisions correspondent à une modification ponctuelle du patrimoine (soit par interaction entre 2 individus i.e. collision binaire, soit par interaction avec le marché). Les états d'équilibre ont une décroissance polynomiale (et non exponentielle comme pour les états d'équilibre thermodynamique, maxwellien) et correspondent aux distributions observées, dites de Pareto. Collaboration avec J.A. Carrillo (Barcelona), L. Pareschi (Ferrara), G. Toscani (Pavia), C. Piatecki (LEO, Orleans), [83, 100].

   Citons également le travail de S. Cordier et S. Mancini en collaboration avec J.A. Carrillo utilisant la théorie cinétique pour décrire une population de neurones en interaction [82] (cf. la thématique Processus Stochastiques).