Thématique : Processus Stochastiques

Description de la thématique

   Ce thème, présent depuis de nombreuses années au laboratoire, a connu de nombreux changements ces dernières années puisque la majorité des enseignants-chercheurs actuellement concernés par cette thématique ont été recrutés entre 2004 et aujourd'hui.

Arbres aléatoires et processus de branchement.

   Les arbres aléatoires continus ont fait l'objet d'une recherche active au sein du laboratoire et le MAPMO est l'un des partenaires scientifiques de l'ANR A3, Arbres Aléatoires (continus) et Applications, qui a débuté en 2009. En particulier, une procédure d'élagage d'un arbre de Lévy très général a été construite dans la thèse de G. Voisin [10], les lois des sous-arbres obtenus étant explicitées. Cette procédure a permis la construction et l'étude de processus de fragmentation [6, 210] ou de processus à valeurs arbres [287].

   Un autre sujet relativement proche du précédent est l'étude de marches aléatoires branchantes avec sélection [43, 302]. J.B. Gouéré en collaboration avec J. Bérard a établi une conjecture de Brunet et Derrida portant sur l'effet du nombre de particules sur la vitesse du nuage de particules. Ils ont pour cela utilisé un résultat récent de Gantert, Hu et Shi sur un autre système de particules avec branchement et sélection, résultat dont ils ont donné une preuve élémentaire.

Equations différentielles stochastiques et applications.

   D. Lépingle a continué avec E. Cépa à s'intéresser à des systèmes finis de particules browniennes avec interaction répulsive singulière. Dans le cas des interactions électrostatiques, [84] montre l'absence de collisions multiples dans le système. Depuis, [335], le cas général des interactions singulières lorsque le domaine est un polyèdre à murs répulsifs a été étudié. On montre que les arêtes ne sont pas rencontrées et donne une condition suffisante sur la répulsion pour qu'un mur particulier ne soit pas atteint.

   N. Berglund travaille sur diverses applications des équations différentielles stochastiques, utilisant et étendant les méthodes introduites dans la monographie [214]. Il a notamment étudié des équations différentielles stochastiques apparaissant en neurosciences [219]. Ce sujet fait partie du projet ANR blanc MANDy et N. Berglund et S. Mancini ont organisé un colloque au CIRM sur ce sujet du 18 au 22 janvier 2010. N. Berglund a également étudié des équations différentielles stochastiques apparaissant en physique statistique quantique (thèse de J.-P. Aguilar, soutenue en 2008), [14].

   R. Emilion utilise également des équations différentielles stochastiques dont les paramètres changent par une chaîne de Markov pour modéliser des phénomènes atmosphériques [348], des problèmes liés aux énergies renouvelables [78, 77] ou l'évolution de valeurs biomédicales afin d'estimer des seuils et des risques [322].

Milieux aléatoires.

   P. Andreoletti étudie les marches aléatoires en milieu aléatoire (marche de Sinaï). En plus de l'étude de la concentration, il s'est intéressé à l'étude du milieu aléatoire vu de la particule [25]. Dans le cas multi-dimensionnel (discret), il a étudié la localisation et le temps local de particules sur un ensemble de points de Zd, dans un cas sous-diffusif il a obtenu la loi limite du temps local qui s'écrit en fonction de la mesure invariante de la marche et d'un processus conditionné à rester positif [292].

   Dans sa thèse (co-encadrée par R. Abraham et P. Andreoletti), R. Diel étudie le temps local de diffusions en milieu aléatoire (Brownien ou Lévy stable). Il a en particulier obtenu le comportement asymptotique de ce temps local (loi limite, comportement p.s.) [293, 317].

Pénalisation de processus.

   La pénalisation de processus consiste à construire des mesures de probabilités qui ne soient pas absolument continues par rapport à la loi du processus initial. P. Debs a tout d'abord étudié le cas discret unidimensionnel pour la marche aléatoire symétrique [113] puis la pénalisation des processus de naissance et de mort transients [114].