Thématique : Processus Stochastiques

Membres permanents : Romain Abraham, Pierre Andreoletti, Julien Barré, Nils Berglund, Emmanuel Cepa, Pierre Debs, Richard Emilion, Dominique Lépingle, Marguerite Zani.

Description de la thématique

   Cette thématique regroupe l'ensemble des probabilistes du laboratoires, les sujets abordés touchant les processus stochastiques (EDS, milieux aléatoires, diffusions), les arbres aléatoires (arbres continus, marches sur les arbres, marches et browniens branchants), la théorie de l'information ou la mécanique statistique (percolation). Ce dernier thème, affaibli après la promotion de Jean-Baptiste Gouéré, s'est vue renforcée par le recrutement très récent de Julien Barré.

Percolation et percolation de premier passage.

   Dans un article J.-B.Gouéré et R.Marchand réfutent une conjecture de Meester, Roy et Sarkar (J. Stat. Phys. 1994) énonçant que les propriétés de percolation d'une réunion de boules aléatoires dans ℝd sont optimisées lorsque les rayons des boules sont déterministes. Le modèle s'appelle le modèle booléen. Un autre article est consacré aux propriétés de percolation d'une superposition infinie de modèles booléens à différentes échelles.
Considérons le modèle de percolation classique sur ℤ2. Lorsque le paramètre de percolation est proche de 1, les grandes boules dans le graphe aléatoire obtenu sont approchées au premier ordre par des boules pour la norme l1. Dansune publication A.-L.Basdevant, N.Enriquez, L. Gerin et J.-B.Gouéré montrent qu'au second ordre, il faut supprimer les coins et les remplacer par des arcs de paraboles. J.-B.Gouéré étudie des propriétés de monotonie en percolation de premier passage.

Marches aléatoires en milieu aléatoire (MAMA)

   Dans le cadre des diffusions en environnement Brownien, P.Andreoletti étudie la notion de localisation fluctuante, propre à la dimension un, ainsi que la structure de renouvellement qui apparaît lorsque l'environnement est moins favorable à une localisation forte. Ces travaux se font en collaboration avec A.Devulder, R.Diel et G.Véchambre.
Dans sa thèse, encadrée par P.Andreoletti, G.Véchambre a étendu ces résultats à des milieux Lévy. Par une étude fine de fonctionnelles de processus de Lévy conditionnés à rester positifs, il a obtenu, entre autre, les limites presque sûres du temps local.
P.Andreoletti et P.Debs se sont intéressés aux marches aléatoires récurrentes sur des arbres de Galton-Watson surcritiques et surtout à la façon dont elles visitent ces arbres. Plus précisément, ils ont étudié quelle était la plus grande génération de l'arbre entièrement visitée par la marche et déterminé comment les générations entre la plus grande visitée complètement et la plus grande visitée tout court sont visitées, ceci en se basant sur des travaux récents de G.Faraud, Y.Hu et Z.Shi. Plus récemment, P.Andreoletti et X.Chen ont obtenu le range de cette marche et la description des environnements typiques visités par celle-ci.
P.Andreoletti s'est aussi intéressé à des problèmes d'estimation paramétrique pour des milieux aléatoires indépendants et identiquement distribués. Il a également travaillé avec R.Diel sur la modélisation du dégrafage et du séquençage d'un brin d'ADN par des MAMA. Plus récemment, avec D.Loukianova et C.Matias, il a étendu des problèmes d'estimation paramétrique au cas où l'environment est une chaîne de Markov.

Marches aléatoires et mouvement Brownien branchants.

   Dans un article J.Bérard et J.-B.Gouéré donnent une preuve analytique d'un résultat de Gantert, Hu et Shi (Ann. IHP2011) sur un modèle de marches aléatoires branchantes avec sélection. La preuve repose sur l'étude d'une équation de type Fisher-KPP associée au modèle. Un autre article est le texte accompagnant un séminaire Bourbaki consacré à des propriétés du mouvement brownien branchant vu depuis son maximum.

Elagage d'arbres continus.

   En utilisant la procédure générale d'élagage d'un arbre continu développée dans la thèse de G.Voisin et son analogue discret introduit lors du post-doctorat de H.He, R.Abraham, J.-F.Delmas et leur doctorant Patrick Hoscheit ont défini des processus (croissants via un retournement du temps) à valeurs arbres généralisant ainsi les résultats d'Aldous-Pitman à des arbres de Galton-Watson généraux et à des arbres continus. Ces procédures ont également permis d'expliquer certains résultats obtenus par Janson sur le nombre de coupes nécessaires pour détruire un arbre de Galton-Watson de variance finie et de les étendre à des arbres à variance infinie, ainsi que de définir certains processus de coalescence par coupe et agrégation d'arbres de Galton-Watson. Pour obtenir des résultats asymptotiques sur ces processus via cette construction, de nouveaux résultats ont du être obtenus sur les limites locales d'arbres conditionnés. Des extensions de ces résultats ont ensuite été obtenues.

Processus dans des groupes de réflexion.

   D.Lépingle a d'abord travaillé avec N.Demni sur le mouvement brownien dans les groupes de réflexion. Il s'est ensuite intéressé aux processus de Bessel à dérive oblique sur lesquels il a rédigé un article actuellement en révision pour la revue Markov Processes and Related Fields.

Pénalisation.

   La pénalisation de processus est une méthode qui permet, à l'aide de certaines fonctionnelles du processus, d'obtenir des mesures de probabilités qui ne sont pas absolument continues par rapport à la loi initiale du processus. P.Debs a poursuivi les travaux de sa thèse dans laquelle il s'intéressait au cas de la marche aléatoire symétrique unidimensionnelle, plus précisément dans le cas de fonctionnelles du supremum de la marche.

Métastabilité.

   N.Berglund a poursuivi ses travaux visant à établir l'asymptotique précise des temps de transition dans des processus de Markov métastables. Un article, écrit en collaboration avec B.Gentz, établit une formule d'Eyring-Kramers pour des EDPS paraboliques bistables du genre Allen-Cahn. Ce résultat a récemment été étendu au cas bidimensionnel, qui nécessite une renormalisation de Wick, avec G.Di Gesù et H.Weber.
La thèse de S.Dutercq, encadrée par N.Berglund et soutenue en juin 2015, concerne la métastabilité de systèmes invariants sous un groupe de symétrie, et soumis à des contraintes. Les résultats ont donné lieu aux publications.
Le cas de certains systèmes irréversibles, en raison de la présence d'orbites périodiques, a été étudié par N.Berglund and B.Gentz dans. Ils ont en particulier précisé la description du phénomène du cycling de la loi de passage à travers une orbite instable, découverte par M.Day. Des liens avec la théorie des valeurs extrêmes mis en évidence dans cette théorie ont été précisés dans une publication.

EDP stochastiques et structures de régularité.

   En collaboration avec C.Kuehn, N.Berglund a étendu la théorie des structures de régularité de M.Hairer à des systèmes couplés EDPS-EDO. Ils ont ainsi montré l'existence de solutions pour des EDPS de FitzHugh-Nagumo forcées par un bruit blanc spatio-temporel, en dimensions 2 et 3.

Transmission de maladies.

   P.Debs et T.Haberkorn ont étendu des résultats de I.Benjamini et Y.Lima, qui se sont intéressés à la transmission de maladies dans une famille représentée par un arbre binaire. Les individus situés à n générations de la racine sont tous affublés d'une maladie parmi k avec certaines probabilités ou sont sains. Ces maladies sont transmises aux enfants de la génération suivante selon certaines règles. Le but est de savoir avec quelle probabilité chaque maladie affecte le descendant commun de la famille (représenté par la racine) et le comportement asymptotique de ces quantités. P.Debs et T.Haberkorn ont étudié ce problème dans le cadre d'un arbre régulier à k branches et dans une moindre mesure, pour un arbre de Galton-Watson.

Applications en neurosciences.

   N.Berglund a poursuivi l'étude d'équations différentielles stochastiques (EDS) motivées par des modèles de neurosciences. La thèse de D.Landon, soutenue en juin 2012, obtient une description détaillée de la statistique des spikes dans le modèle de FitzHugh-Nagumo. Avec B.Gentz et C.Kuehn, N.Berglund a étudié les oscillations multimodales pouvant apparaître dans des EDS de dimension 3, autour d'une singularité du type folded node. Ces études ont fait apparaître la nécessité de mieux comprendre les applications de Poincaré aléatoires, sujet de la thèse de M.Baudel.

Probabilités et théorie de l'information.

   Une première partie des travaux en probabilité de Marguerite Zani concerne l'étude de classification de diffusions et de polynômes orthogonaux. Dans un article récent avec Dominique Bakry, ils étudient des opérateurs de diffusion (mouvement Brownien, Ornstein-Uhlenbeck, mouvement Brownien sphérique) sur un ensemble de matrices symétriques, et considérent le processus de Dyson associé. Ils identifient alors la multiplicité des valeurs propres et en particulier pour les algèbres de Clifford, ils retrouvent la périodicité de Bott.
Une seconde partie concerne l'étude de complexité de l'approximation de champs aléatoires. Dans un résultat récent, en collaboration avec Michel Lifshits, ils étudient le cas d'approximation d'une champ par un algorithme ponctuel d'évaluation de fonction. Dans le cas d'une erreur en moyenne, la complexité est du même ordre que pour l'approximation où toutes les fonctionnelles linéaires sont admises. Les membres de la thématique modélisation s'attachent à produire des modèles en lien avec des chercheurs d'autres domaines, à savoir la volcanologie, la physique, la mécanique des fluides et l'hydrologie, l'industrie aérospatiale, la biologie et la médecine et le traitement d'images. Ces modèles reposent en général sur des équations aux dérivées partielles, parfois stochastiques en lien avec la thématique probabilités, et des techniques variationnelles. Un aspect important de l'étude de ces modèles est leur traitement numérique et, si possible, la comparaison avec les expériences. Les demandes de collaborations issues des autres disciplines est en constante augmentation, le recrutement récent de Magali Ribot devrait permettre de répondre à l'ensemble de ces sollicitations.
À un niveau moins interdisciplinaire, l'équipe a également une activité d'analyse théorique et numérique de certains problèmes d'équations aux dérivées partielles issus de divers domaines applicatifs, à la frontière avec la thématique analyse.