Thématique : Processus Stochastiques

Description de la thématique

   Ce thème, présent depuis de nombreuses années au laboratoire, a connu de nombreux changements ces dernières années puisque la majorité des enseignants-chercheurs actuellement concernés par cette thématique ont été recrutés entre 2004 et aujourd'hui.

Arbres aléatoires et processus de branchement.

   Les arbres aléatoires continus ont fait l'objet d'une recherche active au sein du laboratoire et le MAPMO est l'un des partenaires scientifiques de l'ANR A3, Arbres Aléatoires (continus) et Applications, qui a débuté en 2009. En particulier, une procédure d'élagage d'un arbre de Lévy très général a été construite dans la thèse de G. Voisin [10], les lois des sous-arbres obtenus étant explicitées. Cette procédure a permis la construction et l'étude de processus de fragmentation [6, 210] ou de processus à valeurs arbres [287].

   Un autre sujet relativement proche du précédent est l'étude de marches aléatoires branchantes avec sélection [43, 302]. J.B. Gouéré en collaboration avec J. Bérard a établi une conjecture de Brunet et Derrida portant sur l'effet du nombre de particules sur la vitesse du nuage de particules. Ils ont pour cela utilisé un résultat récent de Gantert, Hu et Shi sur un autre système de particules avec branchement et sélection, résultat dont ils ont donné une preuve élémentaire.

Equations différentielles stochastiques et applications.

   D. Lépingle a continué avec E. Cépa à s'intéresser à des systèmes finis de particules browniennes avec interaction répulsive singulière. Dans le cas des interactions électrostatiques, [84] montre l'absence de collisions multiples dans le système. Depuis, [335], le cas général des interactions singulières lorsque le domaine est un polyèdre à murs répulsifs a été étudié. On montre que les arêtes ne sont pas rencontrées et donne une condition suffisante sur la répulsion pour qu'un mur particulier ne soit pas atteint.

   N. Berglund travaille sur diverses applications des équations différentielles stochastiques, utilisant et étendant les méthodes introduites dans la monographie [214]. Il a notamment étudié des équations différentielles stochastiques apparaissant en neurosciences [219]. Ce sujet fait partie du projet ANR blanc MANDy et N. Berglund et S. Mancini ont organisé un colloque au CIRM sur ce sujet du 18 au 22 janvier 2010. N. Berglund a également étudié des équations différentielles stochastiques apparaissant en physique statistique quantique (thèse de J.-P. Aguilar, soutenue en 2008), [14].

   R. Emilion utilise également des équations différentielles stochastiques dont les paramètres changent par une chaîne de Markov pour modéliser des phénomènes atmosphériques [348], des problèmes liés aux énergies renouvelables [78, 77] ou l'évolution de valeurs biomédicales afin d'estimer des seuils et des risques [322].

Milieux aléatoires.

   P. Andreoletti étudie les marches aléatoires en milieu aléatoire (marche de Sinaï). En plus de l'étude de la concentration, il s'est intéressé à l'étude du milieu aléatoire vu de la particule [25]. Dans le cas multi-dimensionnel (discret), il a étudié la localisation et le temps local de particules sur un ensemble de points de Zd, dans un cas sous-diffusif il a obtenu la loi limite du temps local qui s'écrit en fonction de la mesure invariante de la marche et d'un processus conditionné à rester positif [292].

   Dans sa thèse (co-encadrée par R. Abraham et P. Andreoletti), R. Diel étudie le temps local de diffusions en milieu aléatoire (Brownien ou Lévy stable). Il a en particulier obtenu le comportement asymptotique de ce temps local (loi limite, comportement p.s.) [293, 317].

Pénalisation de processus.

   La pénalisation de processus consiste à construire des mesures de probabilités qui ne soient pas absolument continues par rapport à la loi du processus initial. P. Debs a tout d'abord étudié le cas discret unidimensionnel pour la marche aléatoire symétrique [113] puis la pénalisation des processus de naissance et de mort transients [114].

Perspectives

   P. Hoscheit vient de débuter une thèse sous la direction de R. Abraham et J.F. Delmas. Il s'intéresse à la construction de processus continus à valeurs arbres aléatoires (arbres spatiaux, processus à valeurs arbres 'stationnaires', ...).

   R. Abraham, en collaboration avec H. Hui, actuellement en stage post-doctoral, construit des analogues discrets de l'élagage des arbres continus. Ils ont pour but de faire le lien entre ces modèles discrets et continus.

   Il est conjecturé que le coalescent associé au système de particule étudié dans [43], correctement renormalisé, converge vers le coalescent de Bolthausen-Sznitman. Cette convergence a été établie récemment pour un modèle voisin par J. Berestycki, N. Berestycki et Schweinsberg. Il existe également des liens, qui mériteraient d' être précisés, entre ce modèle et des équations FKPP avec seuil ou avec bruit stochastique.

Equations différentielles stochastiques

   E. Cépa et D. Lépingle voudraient remplacer les particules ponctuelles par des boules dures répulsives et étudier l'existence et l'unicité de la solution du système d'EDS, la mesure empirique, ainsi que les grandes déviations ou bien s'intéresser aux particules répulsives au plus proche voisin, sur la ligne ou sur le cercle.

   D. Landon effectue sa thèse sous la direction de N. Berglund et S. Mancini et poursuit l'étude d'EDS apparaissant en neurosciences. Il s'intéresse en particulier à la loi des intervalles interspikes dans des modèles d'excitabilité de type II (modèle de Fitzhugh--Nagumo). N. Berglund a par ailleurs débuté une collaboration avec M. Desroches (Bristol) et C. Kuehn (Cornell) sur l'effet de bruit sur les mixed-mode oscillations\ présentes dans des modèles du type Hodgkin--Huxley et Morris--Lecar.

   R. Emilion souhaite construire des Mouvement Browniens Bayésiens (remplacement de la suite Gaussienne i.i.d. par une suite échangeable dans les cons\-tructions du Brownien). Perspectives : calcul stochastique Bayésien, EDS en médecine en collaboration avec l'Hôpital Necker et (dans le cadre du master avec le Viet Nam) Cho Ray Hospital.

Milieux aléatoires

   R. Abraham, P. Andreoletti et R. Diel souhaitent étudier plus précisément des modèles de marches aléatoires en milieu aléatoire, introduits par les physiciens S. Cocco et R. Monasson, pour des applications en biologie, en particulier pour le séquençage de l'ADN et de l'ARN.

   Au sein de l'ANR Randymeca dont le porteur de projet est A. Leny, P. Andreoletti s'intéresse au temps local d'une marche en scénario aléatoire qui est en lien étroit avec le comportement asymptotique de marches aléatoires sur réseaux orientés. En collaboration avec A. Devulder, il s'intéresse, pour le cas transient sous-ballistique, à la localisation et au maximum du temps local.

   P. Andreoletti et P. Debs ont comme projet d'étudier le temps local d'une marche en milieu aléatoire sur des arbres réguliers (dans le cas sous-diffusif).

Pénalisation de processus.

   P. Debs et J.B. Gouéré essayent actuellement d'étendre les travaux de [113] au cadre bidimensionnel : plus précisément, ils pénalisent la marche aléatoire symétrique dans Z² par une fonction de son temps local en un ensemble de points finis puis infini.

   P. Debs a également comme projet d'étendre ses résultats concernant la pénalisation des processus de naissance et de mort transients, à des processus de Galton-Watson, des marches aléatoires en milieu aléatoire (en collaboration avec P. Andreoletti) et enfin à des processus de branchements.