Auteur / Author : Franck LESIEUR
Titre / Title : Groupoïdes quantiques mesurés: axiomatique, étude, dualité, exemples
Measured quantum groupoids: axiomatic, study, duality, examples

Thèse soutenue le 14 novembre 2003 devant le jury composé de:

Président
President
 G. Skandalis
(IMJ, UMR 7586, Univ. de Paris VII)
Directeur de thèse
Supervisor
 M. Enock
(IMJ, UMR 7586, CNRS)
J.M. Vallin(Université d'Orléans)
Rapporteurs
Referees
 
L. Vainerman(LMNO, UMR 6139, Univ. de Caen)
A. Van Daele
(KU Leuven)
membre
member
 G. Ferrand
(Université d'Orléans)
fichier complet / full file: 1180 ko(152 pages en Français/in French )



mail :  Franck.Lesieur@math.unicaen.fr
web :  http://www.math.unicaen.fr/~lesieur



Résumé: Cette thèse propose une définition des groupoïdes quantiques mesurés. L'objectif est la construction d'objets, munis d'une dualité, qui englobent à la fois les groupoïdes et les groupes quantiques. On s'appuie sur les travaux de J. Kustermans et S. Vaes concernant les groupes quantiques localement compacts qu'on généralise grâce au formalisme introduit par M. Enock et J.M. Vallin à propos des inclusions d'algèbres de von Neumann. \`{A} partir d'un bimodule de Hopf muni de poids opératoriels invariants à gauche et à droite, on définit un unitaire pseudo-multiplicatif fondamental. On introduit la notion de poids quasi-invariant sur la base et on construit une antipode avec décomposition polaire, une coinvolution, un groupe d'échelle, un module et un opérateur d'échelle. La construction du dual nécessite une hypothèse supplémentaire de densité vérifiée dans de nombreux cas. On obtient un théorème de bidualité dans le cas où la base est semifinie. Cette théorie est illustrée par différents exemples.
Abstract: In this thesis, we propose a definition for measured quantum groupoid. The aim is the construction of objects with duality including both quantum groups and groupoids. We base ourselves on J. Kustermans and S. Vaes' works about locally compact quantum groups that we generalize thanks to formalism introduced by M. Enock and J.M. Vallin in the case of inclusion of von Neumann algebras. From a structure of Hopf-bimodule with left and right invariant operator-valued weights, we define a fondamental pseudo-multiplicative unitary. We introduce the notion of quasi-invariant weight on the basis and, then, we construct an antipode with polar decomposition, a coinvolution, a scaling group, a module and a scaling operator. The construction of the dual structure needs an extra condition which is satisfied in a ,lot of examples. We prove a biduality theorem when the basis is semifinite. This theory is illustrated with different examples.
Mots clés : Algèbres d'opérateurs; groupes quantiques; groupoïdes; unitaires pseudo-multiplicatifs; poids quasi-invariants; poids opératoriels de Haar; antipode; coinvolution; groupe d'échelle; module; opérateur d'échelle; théorème d'unicité; dualité; bidualité
Mention : Très Honorable