Auteur / Author : Barbara SCHAPIRA
Titre / Title : Propriétés ergodiques du feuilletage horosphérique d'une variété à courbure négative
Ergodic properties of the horospherical foliation of a negatively curved manifold

Directrice de Thèse/PhD Supervisor Martine BABILLOT (Université d'Orléans)

Thèse soutenue le 26 novembre 2003 devant le jury composé de:

Président
President
 François LEDRAPPIER
(Université Notre Dame)
Direction
Supervision
 Marc PEIGNÉ
(Université de Tours)
Rapporteurs
Referees
 Marc BOURDON
(Université de lille I)
Vadim KAIMANOVICH
(Université de Rennes I)
Membres
 Jean RENAULT
(Université d'Orléans)
Henri THUILLIER
(Université d'Orléans)
fichier complet / full file: 1660 ko(158 pages en Français/in French )




mail :  schapira@labomath.univ-orleans.fr
web :  http://www.univ-orleans.fr/SCIENCES/MAPMO/membres/schapira/



Résumé: Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés ergodiques du feuilletage horosphérique d'une variété géométriquement finie à courbure négative $M$. Un de nos principaux résultats est la classification des mesures transverses quasi-invariantes dont la dérivée de Radon-Nikodym est un cocycle höldérien fixé, associé à une mesure de Gibbs. \`A un tel cocycle, nous associons certaines moyennes sur les horosphères et montrons qu'elles s'équidistribuent vers la mesure de Gibbs correspondante lorsque $M$ est compacte ou convexe-cocompacte. Lorsqu'elle n'est ni compacte ni convexe-cocompacte, nous limitons l'étude aux moyennes associées à la mesure d'entropie maximale. Nous montrons qu'elles forment une suite tendue, ce qui, dans le cas des surfaces, nous permet d'obtenir leur équidistribution vers cette mesure d'entropie maximale. En corollaire, nous obtenons l'équidistribution des orbites du flot horocyclique d'une surface hyperbolique géométriquement finie mais de volume infini.
Abstract: In this work, we study the ergodic properties of the horospherical foliation of a geometrically finite negatively curved manifold $M$. One of our main results is the classification of quasi-invariant transverse measures whose Radon-Nokodym derivative is a fixed Hölder cocycle, associated with a Gibbs measure. To such a cocycle we associate certain horospherical means and we prove their equidistribution to the corresponding Gibbs measure when $M$ is compact or convex-cocompact. When $M$ is neither compact nor convex-cocompact, we restrict the study to the means associated with the measure of maximal entropy. We show that they do not diverge; in the case of surfaces, it allows us to prove their equidistribution to the measure of maximal entropy. As a corollary, we get the equidistribution of the orbits of the horocyclic flow of a geometrically finite hyperbolic surface with infinite volume.\\
Mots clés : Feuilletage horosphérique;flot horocyclique;cocycle höldérien;mesure transverse quasi-invariante;moyennes horosphériques;non divergence;équidistribution.
Mention : Très Honorable