Université d'Orléans

Projets L3

Pour votre dernière année de licence, vous devez réaliser un projet de fin d'année : par groupe de trois (ou moins), vous travaillerez sur un thème mathématique qui pourra tout aussi bien être une ouverture sur la recherche ou encore un travail de vulgarisation. 

Il vous sera demandé un mémoire expliquant votre travail, ce dernier pourra être rédigé à la main ou sur ordinateur (word, latex...). De plus, vous exposerez une partie de votre travail durant 20-30 minutes. Deux jours seront réservés pour les soutenances qui seront publiques. 

 

Ca y est, c'est déjà la quatrième année que nous faisons ces formidables projets en licence 3. Quatre est un nombre qui de tout temps a fasciné les peuples : les quatre évangiles, les trois mousquetaires (ils sont quatre, bordel !), les quatre filles du docteur March, les quatre doigts de la main (une pensée émue pour nos amis menuisiers). Cependant ce nombre est aussi empreint de mauvaise fortune avec par exemple les quatre cavaliers de l'apocalypse, la mort de Cyrille d'Alexandrie en 444, les quatre membres de tokyo hotel et rappelons nous que ce chiffre est maudit en Chine pour sa prononciation proche du mot "mort"...Cependant, faisons fi de toutes nos peurs et faisons que cette promotion 2016-2017 soit digne des trois précédentes. Attention, si vous ne parvenez pas à montrer que 2017 n'est pas divisible par 4, ces projets vont vous sembler d'une certaine difficulté. 

Nous vous conseillons de ne pas prendre ce travail à la légère. En effet ce dernier vaut 4 ECTS et peut vous aider à obtenir votre licence voir une mention.  

 Sur cette page, vous trouverez les différents sujets proposés ainsi que leurs encadrants. Une fois votre choix de sujet effectué, il vous est recommandé de prendre contact le plus rapidement possible avec l'encadrant par mail ou physiquement. L'adresse mail est toujours du type prenom.nom_at_univ-orleans_dot_fr (il faut remplacer "_at_" par "@" et "_dot_" par ".")

 

 

Mémoires proposés par Romain Abraham

 

Arbres discrets, arbres continus, arbres aleatoires

Les arbres sont un objet apparaissant naturellement en theorie des graphes. Ils ont de nombreuses applications en informatique theorique ou en mathematique pour la biologie. Nous nous interessons ici a la definition mathematique d'un arbre discret, puis comment nous pouvons munir l'ensemble des arbres de structures adaptees pour definir des arbres aleatoires, notamment les arbres de Galton-Watson qui modelisent l'evolution aleatoire d'une population. Nous regarderons ensuite les limites de ces arbres lorsque la taille de la population tend vers l'infini. Cela nous amene a definir des arbres "continus" ayant des longueurs de branches infinitesimales.

 

Mémoires proposés par Julien Barré

1 - Intersection d’un simplex et d’une sphère, probabilités, et condensation

On considère l’objet géométrique suivant, noté Σ : l’intersection d’un simplexe, un morceau de plan dans (R+)n déterminé par l'équation Σni=1xi=n, avec une sphère, d'équation Σni=1x2i = an, pour un certain a > 0. On tire ``au hasard de façon uniforme” un point M sur Σ; ses coordonnées X1, . . . , Xn sont des variables aléatoires, et on s’intéresse à leur loi.

La première partie du stage consistera à comprendre l' énoncé du problème, puis à écrire un code permettant de faire des simulations. On essaiera de comprendre, au moins heuristiquement, le théorème de [1], et de l’illustrer numériquement. On pourra aussi essayer de faire des conjectures dans le cas où la sphère devient un ellipsoïde, et les tester numériquement.

Ce problème a des implications en physiques : on pourra essayer de comprendre sa relation avec le comportement en temps long de l'équation de Schrödinger non Linéaire Discrète (DNLS, voir par exemple [2]); on pourra aussi éventuellement faire des simulations des équations DNLS.

Références :
1. S. Chaterjee ``A note about the uniform distribution on the intersection of a simplex and a sphere”, to appear in J. Topology and Analysis. Preprint arXiv:1011.4043
2. C. Eilbeck et M. Johansson, ``The Discrete Nonlinear Schrodinger Equa- tion 20 Years On”, in Localization and Energy Transfer in Nonlinear Systems, L. Vzquez, R. S. MacKay, M. P. Zorzano Eds., World Scientific, 2003. 

 

2 - Vibrations du tableau de la salle Poisson

Le tableau de la salle Poisson vibre assez fortement lorsqu’on écrit dessus. Lorsque les 2 parties du tableau sont l’une au dessus de l’autre, des comportements surprenants peuvent être observés. Le but du stage est d’essayer de comprendre ces vibrations par la modélisation. Eventuellement, on pourra même essayer de proposer des stratégies pour limiter la gêne occasionnée.

Ce sujet s’adresse à des étudiants attirés par la modélisation mathématique de phénomènes physiques, et fera appel à leurs compétences en physique (élasticité, résonances), équations différentielles et équations aux dérivées partielles (oscillateurs harmoniques, équation de la barre vibrante), ainsi qu’analyse numérique et calcul scientifique. 


Mémoires proposés par Nils Berglund

 

 Langues d'Arnold et synchronisation

L'application du cercle d'Arnold est une application itérée définie sur le cercle, et dépendant de deux paramètres, l'angle de rotation et le couplage. Lorsque le couplage est nul, cette application est une simple rotation. Lorsque le couplage augmente, des orbites périodiques apparaissent et produisent le phénomène d'accrochage des fréquences : l'angle de rotation moyen a plus de chances d'être rationnel qu'irrationnel. Les valeurs des paramètres à angle rationnel sont appelées langues d'Arnold, et forment une structure appelée escalier du diable. Le but du projet est de comprendre ce phénomène, et son lien avec la synchronisation. On pourra l'illustrer par des calculs ou des simulations. 

 

Mémoire proposé par Pierre Debs et Thomas Haberkorn

Persi Diaconis est un mathématicien quelque peu hors normes : il quitta l'école à l'âge de 14 ans pour se consacre à une carrière de magicien professionnel (non il n'est pas allé à Poudlard). Il revint faire des études 10 ans plus tard afin de mieux comprendre les jeux d'argent : il les comprit tellement bien qu'il devint un  des probabilistes les plus reconnus aujourd'hui. 

Dans ce projet, on se propose d'étudier quelques uns de ses résultats les plus connus concernant les mélanges des cartes et le phénomène de cutt-off. 

De plus, on essaiera d'illustrer ces résultats avec quelques simulations numériques.

 Sujet pris par Sarah Balais, Quentin Canetti et Agathe Dauvillier.

Mémoires proposé par Laurent Delsol

 

1-Statistique et traitement d'image :

Il est de plus en plus courant de retoucher ses photos à l'aide d'un logiciel de traitement d'image (certains de ces outils sont d'ailleurs directement utilisés par les appareils photo numériques). Changer la luminosité, le contraste, égaliser une image, changer l'arrière plan, retrouver automatiquement des objets constituant la scène, assembler deux photos pour obtenir une image panoramique, ... Derrière toutes ces opérations se cachent des modélisations et des méthodes statistiques que vous pourrez découvrir, implémenter (en Matlab ou en R) et mettre en pratique au travers de ce projet. Vous disposerez de notes de cours et de quelques exemples d'algorithmes à utiliser. Une belle manière de voir comment les mathématiques peuvent être utilisées pour répondre à des problèmes concrets.  

Sujet pris par Hestya Asani et Alyzée Le Floc'h.

 

2-Régression et applications

L'objectif de ce projet est de permettre aux étudiants qui seraient intéressés d'aller un peu plus loin que le cours de Statistique qui vous est proposé en L3. L'étude de phénomènes concrets amène souvent à modéliser comment une variable dépend d'une autre. Comment la distance de freinage dépend de la vitesse, le volume en bois d'un arbre de sa circonférence, l'altitude de la position sur un sentier de montagne, le taux d'alcool d'une bouteille de vin de sa courbe spectrométrique,...?  Nous nous intéresserons à l'étude de ce type de problèmes, appelés modèles de régression, pouvant s'écrire Y=r(X)+E  (avec r inconnue que l'on cherchera à estimer) ainsi qu'à leur application sur des exemples  de jeux de données. Suivant l'avancement du projet et le souhait du groupe, nous pourrons choisir de poursuivre notre travail autour des notions de robustesse, de classification supervisée ou de grande dimension. Une belle manière d'expérimenter comment vos connaissances mathématiques (on fera la preuve de certaines propriétés théoriques) peuvent être utiles pour répondre à des problèmes très concrets.   
 
Pré-requis: Connaissances générales en Mathématiques niveau L3 - Cours de L3 sur l'estimation paramétrique (Mme FALL). On utilisera le logiciel R.
 

Mémoire proposé par Diarra Fall

 Inférence non paramétrique sur une densité de probabilité

Vous aborderez en cours de "Statistiques empiriques" de L3 les notions d'estimation paramétrique et de test d'hypothèses sur un paramètre. Les modèles que vous verrez sont dits paramétriques car le paramètre $\theta$ (à estimer ou sur lequel porte le test d'hypothèses) est de dimension finie. Typiquement, $\theta\in \mathbb{R}^k, k=1,2,..$ On parle de modèle non paramétrique lorsque $\theta$ est infini-dimensionnel  (exemple: une densité de probabilité, une fonction etc.)

L'objectif du projet est d'étudier quelques uns des modèles non paramétriques d'estimation et de tests d'hypothèses et de les mettre en application à des problèmes concrets. On se concentrera en particulier sur un paramètre de densité. On verra comment l'approche non paramétrique peut permettre de répondre aux limitations des approches paramétriques classiques.

Pré-requis: cours de Statistiques empiriques de L3, connaissances de base du logiciel R. 

Sujet pris par LAWLESS Caroline, CHARRON Léa et MAISONNEUVE Mélissa. 

Mémoires proposé par Thomas Haberkorn

Contrôle de systèmes linéaires 

Ce projet abordera l'étude de systèmes différentiels linéaires contrôlés de la forme "x'(t) = Ax(t) + Bu(t)", où la fonction u (le contrôle) permet de guider l'évolution de l'état x. L'étude portera sur la notion de contrôlabilité de tels systèmes (peut-on mener le système de n'importe quelle condition initiale à n'importe quelle condition finale) ainsi que sur la manière de trouver une fonction u permettant de faire évoluer l'état x de façon voulu. Tout ceci sera accompagné d'illustration et de mise en pratique des résultats et méthodes découvertes. 

Sujet pris par Ismail Boulbars,  Jeremy Martelliere et Rachick Bilel. 

Mémoires proposés par Guillaume Havard

1-Le théorème de Banach-Tarski (et Hutch)

Est-il possible de découper un  pain en cinq morceaux et de les réarranger, sans les modifier, afin d'obtenir deux  pains  identiques  au premier ?  La réponse est bien évidemment non, à moins que vous ne soyez en mesure de faire des miracles.
Est-il possible de découper une  sphère en cinq morceaux et de les réarranger, sans les modifier, afin d'obtenir deux  sphères  identiques  à la première ? La réponse est bien évidemment oui, elle n'a rien de miraculeux et fait l'objet d'un théorème, le théorème de Banach-Tarski.
Pour ce mémoire vous serez amenés à manipuler la notion de groupe, et vous utiliserez l'axiome du choix, sur lequel il pourrait être intéressant de se poser quelques questions.

sujet pris par  DJELASSEM NDOTELMBAYE Josué, MOREAU Philippe et BAMBA Alassane.

 
2-Trois implique chaos

Des systèmes dynamiques très simples peuvent être la source de comportements chaotiques extrêmement compliqués. Dans ce mémoire nous nous intéresserons au possible définition du chaos, à la fonction logistique, et au théorème de Charkowski qui justifie en partie le titre de ce mémoire. Il faudra manipuler des outils standards d’analyse, de topologie, de probabilités.

Sujet pris par Charles Do, Charles Dubois et Verney Laguette

Mémoire proposé par Luc Hillairet

Entre combinatoire et topologie.

La topologie étudie notamment la façon dont la forme d'un espace contraint les fonctions
continues qui y sont définies. Ainsi, le théorème des valeurs intermédiaires
peut être vu comme un théorème lié à la nature topologique des intervalles de R.
Parmi les théorèmes fondamentaux de ce genre, on peut mentionner les théorèmes
de Brouwer et de Borsuk-Ulam. Ces théorèmes peuvent être démontrés à l'aide d'outils
combinatoires ; c'est à dire en considérant des versions discrètes sur des graphes ou des
triangulations (Lemmes de Sperner ou de Tucker). On se propose d'étudier ces
preuves et quelques-unes de leurs applications (théorème du sandwich, ou de la boule
de billard chevelue). 

Mémoire proposé par Magali Ribot

 "Théorème de Perron-Fobrenius et applications"

 Le but premier de ce stage est de démontrer un ou deux théorèmes de Perron-Frobenius : ces théorèmes d’algèbre linéaire donnent, pour des matrices à coefficients positifs particulières, l’existence d’une valeur propre strictement positive associée à un vecteur propre à coefficients strictement positifs. Ce théorème est utilisé dans des applications variées et les étudiants en choisiront une ou plusieurs selon leur goût parmi celles-ci : algorithme de classement des pages ( « pagerank ») de Google, modèle de Leslie en dynamique des populations, classement d’équipes de football américain ou de joueurs de tennis, étude de chaînes de Markov, … Ces applications seront accompagnées de simulations numériques simples.

Sujet pris par BORDEAU Mylène, BORNET Melanie et MARSEAU Marie-Alice.

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