Université d'Orléans

Projets L3

Pour votre dernière année de licence, vous devez réaliser un projet de fin d'année : par groupe de trois (ou moins), vous travaillerez sur un thème mathématique qui pourra tout aussi bien être une ouverture sur la recherche ou encore un travail de vulgarisation. 

Il vous sera demandé un mémoire expliquant votre travail, ce dernier pourra être rédigé à la main ou sur ordinateur (word, latex...). De plus, vous exposerez une partie de votre travail durant 20-30 minutes. Deux jours seront réservés pour les soutenances qui seront publiques. 

 

Cinq ans, un quinquennat de projets de L3 ! Bien l'un des seuls projets du MAPMO qui a fonctionné aussi longtemps ! 
Pour fêter cela, le meilleur projet de cette session se verra offrir un week-end tout frais payé à LA BOURBOULE  (ça frétille chez les asthmatiques !!!) avec l'enseignant de L3 de son choix ! 
Mais non, c'est une blague !!! L'université a cramé tout l'argent du voyage dans des drapeaux et des sous-vêtements pour étudiants canons. Donc au mieux vous aurez une bonne note ! 

Nous vous conseillons de ne pas prendre ce travail à la légère. En effet ce dernier vaut 4 ECTS et peut vous aider à obtenir votre licence voir une mention.  

 Sur cette page, vous trouverez les différents sujets proposés ainsi que leurs encadrants. Une fois votre choix de sujet effectué, il vous est recommandé de prendre contact le plus rapidement possible avec l'encadrant par mail ou physiquement. L'adresse mail est toujours du type prenom.nom_at_univ-orleans_dot_fr (il faut remplacer "_at_" par "@" et "_dot_" par ".")

 

Mémoire proposé par Romain Abraham

 

Interpolation.

Dans de nombreux cas pratiques, le phénomène étudié peut être décrit par une fonction (évolution d'une quantité en fonction du temps,...) mais seuls quelques points expérimentaux seulement sont en général connus. Etant donné ces quelques points, nous savons tracer à la main une courbe "lisse" passant par ces points. Le problème de l'interpolation consiste à trouver une fonction explicite, qui passe par les points connus, et qui est la plus lisse possible. Nous nous intéresserons ici à l'interpolation par un polynôme et à l'interpolation par une fonction spline et verrons en quel sens cette dernière peut-être considérée comme meilleure.

Mémoires proposés par Jean-Philippe Anker

1. Le problème des distances distinctes d’Erdös

Il s’agit d’un des nombreux problèmes posés par le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdös, à la frontière de l’analyse, de la combinatoire, de la géométrie et de la théorie des nombres. Quel est le nombre minimal g(N) de distances distinctes entre N points dans le plan? Plus précisément, quel est le comportement asymptotique de g(N) lorsque N → ∞ ? En 1946, Erdoös a montré que

 

et il a conjecturé que

 Au terme d’une série de progrès successifs, cette conjecture a été finalement démontrée en 2015 par L. Guth & N.H. Katz. Le projet consiste à découvrir le problème d’Erdös et les (premières) méthodes utilisées pour le résoudre, à travers la lecture d’un ouvrage (pédagogique, en anglais) consacré à ce sujet.

Référence bibliographique :

J. Garibaldi, A. Iosevich & S. Senger, The Erdös distance problem, Student Math. Li- brary 56, Amer. Math. Soc. (2011), 150 pages

2. Pavages du plan

Les pavages du plan (plane tilings en anglais) fascinent les artistes et les mathématiciens. On en trouve par exemple dans les mosaïques de l’Alhambra de Grenade ou dans les oeuvres d’Escher. Leur étude mathématique fait appel à la théorie des groupes. Le but de ce projet est de découvrir le monde merveilleux des pavages périodiques et des objets mathématiques permettant de comprendre leur structure. Les  étudiants réaliseront des pavages à la main ou sur ordinateur. Suivant leur nombre et leur intérêt, on examinera des pavages plus exotiques (hyperboliques ou non périodiques).

Bibliographie :

B. Gru ̈nbaum & G.C. Shephard, Tilings and patterns, Dover (2013), 720 pages 



Mémoires proposés par Julien Barré

1-Equations différentielles, systèmes Hamiltoniens et anagyre

L’anagyre est un jouet qui semble ne vouloir tourner sur lui-même que dans un sens : si on le lance dans l’autre sens, il s’arrête et change de sens. Vous pouvez regarder la vidéo ici.

Le but du projet est d’ étudier un système d’équations différentielles qui reproduisent ce comportement  étonnant [1, 2]. Le point de départ sera le système

dP/dt=λPS

dR/dt=-RS

dS/dt=R2-λP2

avec λ > 1; les variables P , R et S sont reliées aux trois rotations possibles de l’objet. Il s’agit d’étudier mathématiquement ce système et de comprendre qualitativement son comportement (existence de solutions, points stationnaires et stabilité, quantités conservées. . .). Pour reproduire vraiment les expériences, il faudra rajouter une friction aux équations ci-dessus. Il sera aussi utile de faire des simulations numériques de la dynamique.

Références

[1]  Moffatt, H. K., Tokieda, T. (2008). Celt reversals: a prototype of chi- ral dynamics. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics, 138(2), 361-368.

[2]  Yoshida, Z., Tokieda, T., Morrison, P. J. (2016). A Prototype Rattle- back Model—a Lie-Poisson Bianchi Type VI System with Chirality. arXiv preprint arXiv:1609.09223. 

2-Conditionnement et condensation

On considère m variables aléatoires indépendantes X1, . . . , Xm, identiquement distribuées, à valeurs dans N; on note P(Xi = k) = fk. On s’intéresse à ce qui se passe lorsque l’on impose que la somme prenne une valeur donnée :

X1 + . . . + Xm = n. (1)

Selon les propriétés de la loi f, il peut se produire un phénomène de ”condensation” : lorsque n tend vers l’infini, une des variables Xi prend une valeur très grande, d’ordre n, alors que la somme des autres Xi reste finie. Le but du projet est de comprendre ce phénomène, en étudiant la démonstration d’un théorème  énoncé dans [1]. Des simulations numériques pourront être utiles.

La condensation apparaît naturellement dans certains modèles de particules en interaction : Xi est alors le nombre de particules sur le site i, et la contrainte (1) s’interprête comme la conservation du nombre total de particules. Lorsqu’il y a condensation, un seul site contient beaucoup plus de particules que les autres.

References

[1] Ferrari, P. A., Landim, C., Sisko, V. V. (2007). Condensation for a fixed number of independent random variables. Journal of Statistical Physics, 128(5), 1153-1158 

 

Mémoires proposés par Nils Berglund

 

La preuve de Birkhoff du théorème de Perron-Frobenius

Le théorème de Perron-Frobenius (Oskar Perron, 1907 et Georg Frobenius, 1912) affirme qu'une matrice carrée à coefficients strictement positifs admet une valeur propre maximale qui est réelle, simple, et strictement plus grande que le module de toutes les autres valeurs propres. De plus, le vecteur propre associé peut être choisi réel et strictement positif. Ce résultat a de nombreuses applications, en particulier  dans l'étude des chaînes de Markov.  En 1957, Garrett Birkhoff a donné une preuve simple et élégante de ce théorème, basée sur des considérations géométriques. Cette preuve a en plus l'intérêt de fournir une estimation du trou spectral (la distance  entre les modules des deux plus grandes valeurs propres) et de se généraliser à des opérateurs intégraux.  Le but de ce projet est de comprendre la preuve de Birkhoff, d'abord  dans le cas des matrices puis dans celui des opérateurs intégraux. On donnera ensuite des estimations du trou spectral dans quelques exemples  concrets.

 

Mémoire proposé par Pierre Debs 

Aller contre sa nature

La marche aléatoire symétrique peut se définir de la manière suivante : on considère une suite de v.a. i.i.d. (Yi) qui prennent les valeurs 1 et -1 avec probabilité 1/2, alors  Xn=Y1+...+Yest appelée marche aléatoire symétrique. 
On se propose dans un premier temps d'étudier quelques propriétés simples de cette loi comme par exemple son caractère récurrent ou la loi de son maximum unilatère.
Par la suite, on essayera à l'aide de procédés simples de forcer la marche à perdre son caractère récurrent.  

 Mémoire pris par Camille Larue, Eva Renac et Claire Scheid

Mémoires proposé par Laurent Delsol

 

1.Autour du jeu de Penney

Ce projet s'intéresse au jeu de Penney dans lequel les deux adversaires parient sur l'obtention un triplet de Pile/Face. On lance la pièce jusqu'à ce que l'un des pronostics soit obtenu, c'est celui qui l'avait prédit qui gagne la partie. Connaissant le choix du premier joueur, le second peut toujours choisir un triplet qui a de grandes chances de gagner... C'est un exemple intéressant de chaîne de Markov. Après une introduction générale aux chaîne de Markov, on étudiera comment le cas standard peut s'étudier au travers de cette approche. On s'intéressera également à des extensions. Une implémentation (en R/scilab par exemple) sera proposée.

Pré-requis/supports: résolution de systèmes d'équations, cours de Probabilités de Licence, cours de Statistique de Licence  

Appli web (avec R)

http://www.univ-orleans.fr/mapmo/shiny/Penney/

2.Champs aléatoires en traitement d'images

Ce projet s'intéresse à l'utilisation des champs aléatoires (de type Gibbs Markov) en traitement d'image. Après une introduction à la description numérique d'une image, nous discuterons de sa modélisation comme réalisation d'un champ aléatoire. Nous considérerons les champs de Gibbs-Markov (définition, génération, ...). Puis nous verrons quelques applications amusantes de ces objets pour segmenter une image ou la débruiter, restaurer des images endommagées (inpainting) ou détecter des zones urbaines sur une image aérienne. Une implémentation (en R/scilab par exemple) sera proposée.

Pré-requis/supports: cours de Probabilités de Licence, cours de Statistique de Licence 

Polycopié: http://docplayer.fr/56636102-Champs-de-markov-en-traitement-d-image-module-c3m.html

Appli web (avec R)

http://www.univ-orleans.fr/mapmo/shiny/Potts/

3.Estimation non-paramétrique et classification

Ce projet s'intéresse à l'étude de méthodes de classification (supervisée ou non-supervisée) de données statistiques s'appuyant sur des estimations de la fonction de densité et/ou de la fonction de régression. Après une présentation de le problématique considérée, nous introduirons les estimateurs à noyaux et aborderons certaines de leurs propriétés. Nous verrons enfin comment les utiliser en pratique pour répondre à des problèmes concrets tels que : ce cycliste a-t-il des chances d'être dopé étant donné son taux d'hématocrytes? peut-on retrouver les différents groupes cachés dans une population? Une implémentation (en R/scilab par exemple) sera proposée.

Pré-requis/supports: cours de Probabilités de Licence, cours de Statistique de Licence   

 

Mémoire proposé par Kim Dang Phung

Ondes gaussiennes

Le but de ce stage est de décrire une onde localisée le long d'une certaine trajectoire rectiligne. Cette onde
s'appelle ''onde gaussienne'' ou ''faisceau gaussien''. On commencera par comprendre ce qu'est une onde dans
un domaine rectangulaire. On simulera la reflexion de l'onde par le bord. Eventuellemnt, ce projet mènera à
la visualisation d'une onde frappant le coin du rectangle.

 

Mémoire proposé par Philippe Grillot

Origine des problèmes de l'analyse numérique matricielle.

 Résumé : En s'appuyant sur des exemples simples de problèmes aux limites ( équation de Poisson, équation de la chaleur, équation des ondes) la méthode des différences finies sera établie; cette technique conduit naturellement à la résolution de système linéaire dont les  matrices sont dites "creuses" , que l'on retrouvera avec l'approximation variationnelle des problèmes initialement posés. 

Mémoires proposé par Thomas Haberkorn

 Probleme restreint des trois corps

Dans ce projet, vous vous interesserez a la description du mouvement d'une particule soumise aux champs gravitationnels de deux astres, lorsque l'on suppose que ces derniers ont des orbites particulieres. Le projet demandera d'etudier une petite partie du le livre de Koon, Lo, Marsden et Ross : "Dynamical Systems, The Three-Body Problem, And Space Mission Design" (plus precisement, une partie des chapitres 2 et 6). Apres avoir assimile les notions de bases de ce probleme, il vous sera demande d'agrementer votre projet de simulations numeriques portant sur~: la trajectoire de la particule, les points d'equilibres du systeme, les trajectoires dites de Halo .

Mémoires proposés par Guillaume Havard

 Les monstres sont partout …

Jusque la deuxième moitié du 19e siècle les mathématiciens pensaient communément qu’une fonction continue si elle n’était pas dérivable devait tout de même l’être sur un ensemble « conséquent ». En 1830, le mathématicien hongrois Bernard Bolzano (5/10/1781-18/12/1848) donne un exemple d’une fonction continue et nulle part dérivable. En 1872 le mathématicien allemand Karl Weierstrass (31/10/1815-19/02/1897) donne une famille à deux paramètres réels de telles fonctions. Dans ce mémoire nous proposons d’étudier quelques exemples de ces fonctions monstrueuses ainsi que les outils qui permettent de constater qu’elles sont loin d’être rares.

 Sujet pris par Céline Cabo, Tristan Cierniak et Antonin Jacquet

Mémoire proposé par Luc Hillairet


Mémoire proposé par Carine Lucas


Modèles pour la dynamique des populations. 

L’objectif de ce projet est d’étudier différents modèles de dynamique des populations, 
du modèle le plus simple, à savoir le modèle de Malthus, à des systèmes plus complexes, les modèles proie-prédateur. 
Il s’agit d’equations différentielles : on étudiera le rôle de chaque terme pour comprendre le phénomène qui est modélisé. 
On s’intéressera aux propriétés mathématiques des modèles mais aussi à la simulation numérique de ces populations avec scilab. 
On étudiera le comportement des solutions obtenues en fonction des valeurs des paramètres du modèle.

Pré-requis :  maîtrise du logiciel scilab.

Projet pris par Pierre Bouchet et Eléonore Macé.

 

 

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