Université d'Orléans

Parcours Mathématiques Approfondies

Partenaires en France :

Université François Rabelais de Tours (master commun Orléans-Tours depuis 1983)

Partenaires étrangers (M2) :

• Vietnam : Université des Sciences Naturelles de Ho Chi Minh Ville / Saïgon
• Tunisie : Facultés des Sciences de Tunis et de Bizerte
• Cameroun : Université de Yaoundé (projet)
• Italie : Università di Ferrara (projet)
• Pologne : Université de Varsovie (projet)

Parcours adaptés :

Après discussion et accord préalables des responsables de formations concernés, le parcours
standard décrit ci-dessous peut être adapté aux projets personnels des étudiants, en
remplaçant certains enseignements par des enseignements empruntés à d'autres parcours.

Master 1 – Semestre 1

Modules de tronc commun

Méthodes Hilbertiennes et Analyse de Fourier (60 h - 7 ECTS)

Page web : www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/MHAF.html

1. Méthodes hilbertiennes : Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz. Définition et exemples d'espaces de Hilbert (l2, L2). Théorème de la projection orthogonale, bases hilbertiennes, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, exemples.
2. Séries de Fourier : Définition et exemples. Identité de Parseval. Critère de convergence de Dirichlet.
3. Transformation de Fourier : Définition et exemples (gaussiennes). Transformation de Fourier sur L1, S, L2. Formule de Plancherel, formule d'inversion.
4. Compléments : Théorèmes de Lax-Milgram et de Stampacchia.

Probabilités (60 h - 7 ECTS)

1. Rappels de probabilités :
   • tribus,mesurabilité, définition d'une probabilité, définition d'une variable aléatoire, variables aléatoires discrètes et continues, espérance, variance, indépendance,
   • convergences de variables aléatoires (presque sûre, en probabilités, Lp, en loi), théorèmes asymptotiques (loi des grands nombres et théorème central limite).
2. Nouveaux thèmes :
   •  probabilités conditionnelles, densités conditionnelles et espérances conditionnelles,
   • vecteurs gaussiens.

Modules spécifiques du parcours MA

Analyse Fonctionnelle et Applications (60 h - 7 ECTS)

Page web : www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF1.html

• Espaces de Banach : Définition et exemples (lP, co, Lp, Co). Densité, séparabilité. Applications linéaires continues. Principe de prolongement par continuité.
• Dualité : Théorème de Hahn-Banach. Exemples d'espaces duaux (espaces de Hilbert, espaces réflexifs, espaces lP, co, LP).
• Théorème de Baire et ses conséquences : Théorème de la borne uniforme (Banach-Steinhaus), théorème de l'application ouverte (Banach), théorème du graphe fermé. Applications à l'analyse.
• Théorème d'Ascoli-Arzela et théorème de Stone-Weierstrass.

Algèbre et Arithmétique (60 h - 7 ECTS)

• Anneaux, idéaux, anneaux quotients.
• Anneaux euclidiens, principaux et factoriels.
• Anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées.
• Corps, extensions de corps, nombres algébriques.
• Corps finis, résidus quadratiques.
• L'anneau des entiers de Gauss et les sommes de deux carrés.

Anglais (24 h - 2 ECTS)

Master 1 — Semestre 2

Probabilités Approfondies (60 h - 6 ECTS)

• Chaînes de Markov à espace d'états au plus dénombrable : récurrence-transience, probabilités d'absorption, probabilités invariantes, théorème ergodique, convergence en loi.
• Martingales : convergence p.s, equi-intégrabilité, théorèmes d'arrêt, inégalités maximales, martingales bornées dans L2, loi des grands nombres.
• Convergence en loi, théorème de Lévy et applications.
• Simulation de variables aléatoires réelles.

Analyse Fonctionnelle Approfondie (60 h - 6 ECTS)

Page web : www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF2.html

• Compléments de topologie.
• Dualité, réflexivité, topologies faibles, compacité de la boule-unité.
• Espace de Schwartz.
• Distributions tempérées : Définitions et exemples. Dérivation, multiplication, transformation de Fourier, convolution. Distributions à support ponctuel.
• Applications aux EDP : équation de Laplace, équation de la chaleur, équation des ondes
• Compléments : espaces de Sobolev L2.

Théorie Spectrale des Opérateurs (60 h - 6 ECTS)

• Opérateurs bornés sur un espace de Banach.
• Spectre, résolvante.
• Calcul fonctionnel holomorphe.
• Initiation aux algèbres de Banach: théorème de Wiener.
• Opérateurs autoadjoints sur un espace de Hilbert.
• Calcul fonctionnel continu dans ce cadre.
• Opérateurs compacts sur un espace de Banach.
• Opérateurs de Fredholm.
• Théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts.
• Théorie de Sturm-Liouville.
• Initiation aux opérateurs non bornés.

Géométrie Différentielle (60 h - 6 ECTS)

• Rappels sur les fonctions de plusieurs variables : Rn, graphes et courbes de niveaux, applications différentiables, théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites, théorème de Cauchy-Lipschitz.
• Les courbes dans le plan et dans l'espace : courbes paramétrées, courbes régulières et longueur d'arc, formules de Frénet pour les courbes dans le plan et dans l'espace.
• Les surfaces dans l'espace : définition d'une surface régulière, changements de cartes, plan tangent, applications différentiables, champs de vecteurs, surfaces orientées.Propriétés métriques des surfaces : première forme fondamentale, longueur des courbes, aire des surfaces, deuxième forme fondamentale, théorème de Gauss, isométries locales et applications conformes, transport parallèle et géodésiques.
• Formes différentielles et intégration : formes multilinéaires alternées, formes différentielles sur un ouvert de Rn, lemme de Poincaré, formes différentielles sur une surface, formes de volume, intégration des formes différentielles, domaines et surfaces à bord, formule de Stokes.

Stage théorique / Mémoire (6 ECTS)

Master 2 — Semestre 3

Les cours ont lieu à Orléans ou à Tours, au besoin en visio-conférence.

Cours de base, communs avec la préparation (50 h - 7 ECTS)

Compléments d'analyse

Ce cours est divisé en trois parties, choisies alternativement parmi les thèmes suivants :

• AN1. Analyse complexe
• AN2. Compacité
• AN3. Equations différentielles ordinaires
• AN4. Convexité
• AN5. Calcul différentiel et intégral à plusieurs variables
• AN6. Théorèmes de points fixes
• AN7. Espace de Schwartz, distributions tempérées, espaces de Sobolev L2

Compléments d'algèbre et de géométrie

Ce cours est divisé en trois parties, choisies alternativement parmi les thèmes suivants :

• ALG1. Modules sur un anneau principal
• ALG2. Algèbre bilinéaire et multilinéaire
• ALG3. Groupes et géométrie
• ALG4. Corps et extensions de corps
• ALG5. Initiation à la théorie des nombres
• ALG6. Représentations des groupes

Cours d'anglais (24 h - 2 ECTS)

Cours d'introduction à la recherche (50 h - 7 ECTS)

Ces cours correspondent à des thématiques de recherche en mathématiques menées au sein de la Fédération Denis Poisson Orléans-Tours, plus précisément :

• analyse (EDP, analyse harmonique, systèmes dynamiques, algèbre d'opérateurs, ... ),
• probabilités (processus stochastiques, mouvement brownien, chaînes de Markov, marches aléatoires, théorie ergodique, ... ),
• algèbre et géométrie (théorie des représentations, topologie algébrique, théorie géométrique des groupes, géométrie riemannienne, surfaces minimales, ... ).

A titre d'exemples, voici les cours enseignés ces dernières années.

Outils d'analyse harmonique (J.-Ph. Anker, Orléans)

Page web : www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/OAH.html

• Exemple introductif : Fonction maximale de Hardy-Littlewood, lemme de recouvrement de Vitali, théorème de différentiation de Lebesgue.
• Notions d'interpolation.

• Interpolation complexe : Théorème de Riesz-Thorin, applications (inégalité de Hausdorff- Young, inégalité de Young).
• Interpolation réelle : Espaces de Lorentz, théorème de Marcinkiewicz, applications (inégalité de Hausdorff-Young améliorée, inégalité de Young améliorée, inégalité de Hardy- Littlewood-Sobolev).

• Intégrales singulières et multiplicateurs de Fourier. Exemples : transformation de Hilbert en dimension 1 et transformations de Riesz en dimensions supérieures. Théorie générale : lemme de Whitney, décomposition de Calderon-Zygmund, condition de Hörmander, conditions de type symbole.
• Exemples de décompositions spectrales : Fonctions de Littlewood-Paley et décompositions dyadiques. Espaces fonctionnels classiques : Espaces de Sobolev, espaces de Besov, espaces de Lizorkin-Triebel.
• Introduction aux ondelettes.

Martingales et calcul stochastique (N. Berglund, Orléans)

Page web : www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/berglund/m2_stoch.html

Partie I. Processus en temps discret

• Exemples de processus stochastiques : variables aléatoires i.i.d., marches aléatoires et chaînes de Markov, urnes de Polya, processus de Galton–Watson, marches aléatoires autoévitantes, systèmes dynamiques.
• Construction générale d'un processus : préliminaires et rappels, distributions de dimension finie, noyaux markoviens, théorème de Ionescu–Tulcea.
• Filtrations, espérances conditionnelles : sous-tribus et filtrations, espérance conditionnelle.
• Martingales : définitions et exemples, inégalités, décomposition de Doob, processus croissant
• Temps d'arrêt : définition et exemples, processus arrêté, inégalité de Doob
• Théorèmes de convergence : différentes notions de convergence, convergence presque sûre, convergence dans Lp (p>1), convergence dans L1, loi 0-1 de Lévy.

Partie II. Processus en temps continu

• Le mouvement brownien : limite d'échelle d'une marche aléatoire, construction du mouvement brownien, propriétés de base, temps d'arrêt, mouvement Brownien et martingales.
• L'intégrale d'Itô : définition, propriétés élémentaires, un exemple, la formule d'Itô,
• Equations différentielles stochastiques : solutions fortes, existence et unicité de solutions
• Diffusions : la propriété de Markov, semigroupes et générateurs, la formule de Dynkin, les équations de Kolmogorov, la formule de Feynman–Kac

Introduction à la topologie algébrique (I. Chatterji, Orléans)

Page web : www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/chatterji/top.html

Pré-requis : Le prérequis pour ce cours est un niveau master 1. Plus précisément il sera important d'être à jour avec la notion d'espace topologique et de continuité, qu'il sera utile de revoir. La notion de groupe devrait également être révisée.

Résumé :

• Homotopie et groupe fondamental
• Complexes cellulaires
• Théorie des groupes
• Le théorème de van Kampen
• Revêtements

Marches aléatoires et mouvement brownien (E. Lesigne, Tours)

Pré-requis : Notions de bases sur les espaces probabilisés, suite de variables aléatoires indépendantes, vecteurs gaussiens, chaînes de Markov, notions de convergence faible.

Résumé :

• Outils de la théorie des probabilités : théorème d'extension de Kolmogorov et exemples.
• Marches aléatoires multidimensionnelles. Lois des grands nombres, TCL, théorème du renouvellement et théorème limite local. Notion de transience et récurrence.
• Introduction au mouvement brownien. Construction, propriété de martingale, propriété de Markov. Description des trajectoires. Principe d'invariance de Donsker.

Compétences acquises : Connaître les propriétés caractéristiques des processus aléatoires classiques, comprendre quels phénomènes peuvent être raisonnablement modélisés par ces objets, être à même de discuter les hypothèses que l'on est amené à faire en modélisation.

Fonctions harmoniques, équation de la chaleur (L. Véron, Tours)

Le but du cours est de présenter la théorie classique des fonctions harmoniques et caloriques en utilisant des représentations intégrales. Les ouvertures vers la théorie des équations elliptiques et paraboliques du second ordre seront indiquées.

Résumé :

• Equations de Laplace et de Poisson : Propriété de la moyenne et principe du maximum. Solutions fondamentales, fonctions harmoniques, noyaux de Green et de Poisson. Inégalités de Harnack, théorème de Liouville, regularité et estimations C. Problème de Dirichlet, méthode de Perron. Trace au bord, théorème de Riesz-Herglotz et formulation très faible. Méthode d'énergie, espace H1.
• Notions sur les espaces fonctionnels : Espaces de fonctions höldériennes. Enoncé des théorèmes de régularité des solutions d'équations elliptiques.
• Equation de la chaleur : Propriété de la moyenne et principe du maximum. Solutions fondamentales, noyau de la chaleur. Problèmes de Cauchy et de Cauchy-Dirichlet.

Géométrie Riemannienne (A. El Soufi, Tours)

à mettre a jour

Pré-requis : Géométrie différentielle.

Résumé : Le but principal du cours est de donner une introduction à la géométrie riemannienne. Seront également développés quelques thèmes relatifs à la théorie des sousvariétés.

• Compléments de géométrie différentielle, formes différentielles, tenseurs, formule de Stokes.
• Variétés riemanniennes, connexions, parallélisme, géodésiques, tenseur de courbure etc.
• Sous-variétés, seconde forme fondamentale,équation de Gauss.
• Eléments de la théorie des sous-variétés.

Master 2 — Semestre 4

Les cours ont lieu à Orléans ou à Tours, au besoin en visio-conférence. Le programme comprend deux cours avancés et un stage aboutissant à un mémoire, dans les thématiques de recherche en mathématiques menées au sein de la Fédération Denis Poisson Orléans-Tours, à savoir :

• analyse (EDP, analyse harmonique, systèmes dynamiques, algèbre d'opérateurs, ... ),
• probabilités (processus stochastiques, mouvement brownien, chaînes de Markov, marches aléatoires, théorie ergodique, ... ),
• algèbre et géométrie (théorie des représentations, topologie algébrique, théorie géométrique des groupes, géométrie riemannienne, surfaces minimales, ... ).

A titre d'exemples, voici les cours enseignés ces dernières années.

Contrôle des EDP (J. Le Rousseau, Orléans)

• Opérateurs pseudo-différentiels : rappels et notations, symboles, opérateurs pseudo-différentiels dans Rn, régularité sur l'espace de Schwartz, séries asymptotiques, symboles polyhomogènes, intégrales oscillantes, opérateur adjoint, composition, ellipticité, paramétrices, régularité L2 et Sobolev, mesures microlocales de défaut de compacité.
• Contrôle de l'équation des ondes : résultats préliminaires, problème de Cauchy et régularité des solutions, contrôle des ondes, bicaractéristiques, condition géométrique de contrôle et preuve de la contrôlabilité.

EDP dispersives (V. Pierfelice, Orléans)

• Equation de Schrödinger dans Rⁿ.
• Equation des ondes dans Rⁿ.
• Inégalités dispersives.
• Inégalités de type Strichartz.
• Equations semi-linéaires.
• Scattering.

Introduction à la théorie des représentations (C. Lecouvey, Tours)

Pré-requis : Les notions classiques d'algèbre de L et M1 (groupes, action de groupes, algèbre linéaire, extension de corps).

Résumé : Le cours est une introduction à la théorie des représentations des groupes finis et à ses applications via la théorie des caractères. Le cas du groupe symétrique en caractéristique 0 est traité en détail.

• Notion de représentation d'un groupe.
• Théorie des caractères.
• Dual d'un groupe fini.
• Restriction et induction des représentations.
• Caractères des représentations du groupe symétrique.

Introduction à la théorie des semi-groupes. Le semi-groupe de Dunkl (L. Gallardo, Tours)

Pré-requis : Notions de bases sur les espaces probabilisés. L'exemple du mouvement brownien

Résumé : Le cours est une introduction à la théorie des semi-groupes avec l'exemple du semi-groupe de Dunkl examiné en détail.

• Eléments de la théorie des semi-groupes d'opérateurs.
• Théorème de Hille-Yosida et semi-groupes markoviens.
• Introduction au semi-groupe de Dunkl sur C0(R).
• Le semi-groupe de Dunkl sur C0(Rd).