Soutenance de thèse Mr Yanqiao WEI

Cette thèse vise principalement à concevoir des différenciateurs d’ordre fractionnaire basés sur des modèles et sans modèles dans un environnement bruité, en fournissant des formules algébriques sous forme intégrale. Ces différentiateurs sont non-asymptotiques, qui permettent d’obtenir des résultats d'estimation avec une convergence en temps-fini et sans connaître des conditions initiales. De plus, ils sont robustes aux bruits. Pour cet objectif, inspirée d’une série de travaux tirés de la littérature, cette thèse généralise la méthode des fonctions modulatrices pour résoudre des problèmes d’estimation plus variés. Dans chaque problème, les fonctions modulatrices requises sont construites. D'une part, cette thèse conçoit des différentiateurs d’ordre fractionnaire de pseudo-état pour des systèmes linéaires d'ordre fractionnaire. Tout d'abord, elle considère une classe de systèmes linéaires d'ordre fractionnaire. Par rapport à l’ancien estimateur de pseudo-états obtenu par la méthode de fonctions modulatrices, elle fournit un estimateur amélioré, où le processus d'estimation est simplifié, l'effort de calcul est réduit et les résultats de l'estimation sont améliorés. Deuxièmement, elle prend en compte une classe plus grande de systèmes linéaires d'ordre fractionnaire. Elle propose un différentiateur de pseudo-états, qui peut être utilisé à estimer l’intégrale et la dérivée d’ordre fractionnaire du pseudo-état et de la sortie. De plus, certains paramètres sont introduits pour contrôler la contribution d'erreur de bruit. Troisièmement, différent des deux cas précédents où les ordres de différenciation dans les systèmes considérés sont des nombres rationnels, cette thèse considère une classe plus générale de systèmes linéaires d'ordre fractionnaire, où les ordres de différenciation sont des nombres réels. Ainsi, par rapport aux deux cas précédents, la méthode proposée permet d'éviter l'explosion du coût de calcul due à un ordre de différenciation rationnel avec un grand dénominateur. D'autre part, cette thèse développe finalement deux types de différenciateurs sans modèle pour estimer respectivement les dérivées de Riemann-Liouville et de Caputo. Pour ce faire, elle introduit d’abord de nouvelles formules d’intégration par parties d’ordre fractionnaire. Ensuite, elle applique la méthode des fonctions modulatrices à un modèle estimé localement par un différenciateur d'ordre entier. Dans tous les cas, cette thèse donne des simulations numériques pour illustrer l’efficacité et la robustesse des différentiateurs proposés. Enfin, cette thèse termine par les conclusions avec quelques perspectives.

This thesis mainly aims at designing both model-based and model-free fractional order differentiators in noisy environment by providing exact algebraic integral formulas. These differentiators are non-asymptotic, which can provide estimation results with a finite-time convergence and without knowing initial conditions. Moreover, they are robust against corrupting noises. For this purpose, inspired by a series of existing works in the literature, the modulating functions method is extended to cope with more different estimation issues. In each issue, the required modulating functions are constructed. On the one hand, model-based fractional order
differentiators are designed for the pseudo-state of fractional order linear systems. First, a class of fractional order linear systems is considered. Compared to the existing pseudo-state estimator obtained by the modulating functions method, an improved one is provided, where the estimation process is greatly simplified, the computation effort is reduced and the estimation results are improved. Second, a larger class of fractional order linear systems is considered. A pseudo-state differentiator is proposed, which can be used to estimate the fractional integral and derivatives with arbitrary orders of the pseudo-state as well as the output. Meanwhile, some design parameters are introduced to control the noise error contribution. Third, different from the two previous cases where the orders of the differentiation operators in the considered systems are rational numbers, a more general class of fractional order linear systems is considered, where the orders of the differentiation operators are real numbers. Compared to the two previous cases, the proposed method can avoid the computation cost explosion due to a rational differentiation order with a large denominator. On the other hand, two kinds of model-free differentiators are finally proposed for Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives, respectively. To achieve this, new fractional integration by parts formulas are first introduced. Then, the modulating functions method is applied to a constructed model locally estimated by an integer order differentiator. In each case, the efficiency and robustness of these proposed fractional order differentiators are verified by numerical simulations in this thesis. Finally, conclusions are outlined with some perspectives.