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Projets Licence 3

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Pour votre dernière année de licence, vous devez réaliser un projet de fin d'année : par groupe de trois (ou moins), vous travaillerez sur un thème mathématique qui pourra tout aussi bien être une ouverture sur la recherche ou encore un travail de vulgarisation. 

Il vous sera demandé un mémoire expliquant votre travail, ce dernier pourra être rédigé à la main ou sur ordinateur (word, latex...). Je vous recommande d'utiliser latex qui est l'outil le plus usité dans le milieu mathématique. Il n'est pas nécessaire d'installer un logiciel sur votre ordinateur, vous pouvez passer par le plateforme overleaf qui vous permettra en plus de travailler à plusieurs sur le même fichier.  Voici un exemple de fichier tex très simple 

Fichier

Vous pouvez télécharger ce fichier puis changer l'extension .txt en .tex.
Internet fourmille d'exemple comme le suivant.

 

De plus, vous exposerez une partie de votre travail durant 20-30 minutes. Deux jours seront réservés pour les soutenances qui seront publiques. 

 

 

Nous vous conseillons de ne pas prendre ce travail à la légère. En effet ce dernier vaut 3 ECTS et peut vous aider à obtenir votre licence voir une mention.  

 Sur cette page, vous trouverez les différents sujets proposés ainsi que leurs encadrants. Une fois votre choix de sujet effectué, il vous est recommandé de prendre contact le plus rapidement possible avec l'encadrant par mail ou physiquement. L'adresse mail est toujours du type prenom.nom_at_univ-orleans_dot_fr (il faut remplacer "_at_" par "@" et "_dot_" par ".")

Mémoire proposé par Romain Abraham 

Loi de Newcomb - Benford.

Newcomb, dès 1881, met en évidence un étrange phénomène :
en considérant des nombres "pris au hasard" dans un ensemble quelconque, la proportion de nombres commençant par un 1 est supérieure à celle des nombres commençant par 2... Cette remarque a été confirmée près de 50 ans plus tard par Benford sur de nombreux exemples et une "loi" a été proposée sans réelle preuve mathématique. Néanmoins, ce comportement particulier est suffisamment générique pour qu'on l'utilise comme test pour savoir si des données expérimentales sont "vraies" ou ont été trafiquées.

Le but de ce sujet est d'expliquer pourquoi certaines lois donnent effectivement des échantillons qui obéissent à cette loi de Newcomb-Benford.

 

Mémoires proposé par Jean-Philippe Anker

Polynômes et fonctions d’Hermite, avec applications à la transformation de Fourier et à l’oscillateur harmonique

Ce sujet est inspiré de thèmes d’analyse standards dans le programme de l’agrégation de mathématiques et en particulier de deux épreuves écrites (agrégation externe 2010, agrégation interne 2019). Il s’adresse donc prioritairement aux étudiants visant l’agrégation, mais peut également intéresser d’autres étudiants, désireux de se familiariser avec l’analyse hilbertienne et l’analyse de Fourier, à l’occasion de l’étude d’une famille classique de polynômes orthogonaux et de fonctions orthogonales, en l’occurrence les polynômes et les fonctions d’Hermite.

Après avoir établi leurs principales propriétés (définitions et caractérisations équivalentes, for- mules de récurrence, orthogonalité et totalité, fonction génératrice, . . .), on les appliquera d’une part à la diagonalisation de la transformation de Fourier et d’autre part à l’étude de l’oscillateur harmonique.

Les polyèdres réguliers et leurs groupes de symétrie

Ce sujet classique de géométrie et d’algèbre devrait intéresser prioritairement les étudiants visant l’agrégation ou le CAPES. Après avoir classifié les polyèdres réguliers, on déterminera et on étudiera leurs groupes de symétries :
-S4 pour le tétraèdre,

-S4x(Z/2Z) pour le cube et l’octaèdre,
-A5x(Z/2Z)  pour le dodécaèdre et l’icosaèdre.
Si le temps le permet, on pourra éventuellement examiner des polyèdres semi–réguliers.

 

Mémoire proposé par Julien Barré

Fichier

 

 

 Mémoire proposé par Eric Decreux

 
L’ensemble triadique de Cantor est un exemple d’ensemble ayant des propriétés remarquables : partout dense, séparé, non dénombrable, de mesure nulle, permettant de construire l’escalier de Lebesgue, une fonction continue, presque partout constante, et pourtant croissante de 0 à 1, parmi d’autres propriétés. Ce projet propose de décrire cet ensemble, et de démontrer certaines de ses propriétés importantes ainsi que l’escalier de Lebesgue.

Ce sujet a été pris par Mathieu Perbal et Samuel Lemoigne.   

Mémoires proposés par Pierre Debs et Thomas Haberkorn 

Ce projet est basé sur un article de Itai Benjamini et Yuri Lima.

On se propose d'étudier la transmission d'un ensemble de maladies à travers les générations d'une famille.
Pour se faire on modélise la famille par un arbre binaire, on attribue aux ancêtres une maladie parmi les maladies probables et on introduit des règles pour la transmission de ces dernières aux enfants. Le but est de savoir avec quelle probabilité chaque maladie affecte le descendant de toute la famille puis d'imaginer ce qu'il se passe lorsque l'on a une "infinité" d'ancêtres. 

Pour traiter ce sujet, on a besoin de notions simples de probabilités, de points fixes et on peut imaginer faire quelques simulations. 

 

Mémoire proposé par Pierre Debs 

On considère au départ un graphe (un ensemble de points et d'arêtes) constitué d'un seul point. Au bout d'une unité de temps (une minute par exemple), on rajoute un point à ce graphe et on le relie ou pas au point déjà existant avec une certaine probabilité. 
On itère alors notre processus : à chaque unité de temps on rajoute un point au graphe et on le relie ou pas à chacun des points déjà existants avec une certaine probabilité. 
On  s'intéressera par exemple au comportement asymptotique du degré d'un point (le nombre d'arêtes qu'il possède) en fonction de la probabilité de lier deux sommets. 
Ce genre de modèle sert à modéliser les liens qui pointent vers une page web par exemple. 

On aura besoin des notions de probabilités de L2 et de L3. 

 

Mémoire proposé par Laurent Delsol

 

Dénombrement et échantillonnage :

Domaine : Statistique, Théorèmes fondamentaux et applications

Ce projet a pour objectif de bien s'approprier les théorèmes fondamentaux de la statistique (Loi des Grands Nombres et Théorème de la Limite Centrale) et de les appliquer pour répondre à des question de dénombrement (combien d'individus vivent-ils dans une zone géographique donnée ? commet sont ils répartis ? …). On s'intéressera particulièrement à la construction et à la comparaison d'estimateurs. Il sera demandé de manipuler R pour faire des simulations... et éventuellement une application web sur shiny.

Pré-requis : 2 cours du S6 sur les Probabilités et la Statistique

Ce sujet a été pris par Houda Selmane, Mathilde Fourreau-Vieug et Brahim Oughajji

M- et Z- estimation

Domaine : Statistique, Théorèmes fondamentaux et applications

Ce projet a pour objectif de vous faire travailler sur les propriétés asymptotiques (quand la taille de l'échantillon tend vers l'infini) d'estimateurs définis comme les zéros (Z-estimateurs) ou les argmax (M-estimateurs) de critères empiriques (c'est à dire construit à partir de l'échantillon X_1,...X_n). Cela donne des estimateurs dont le comportement est assez différent. Il sera demandé d'utiliser R pour faire des simulations. Une implémentation sous forme d'application web en shiny est envisageable.

Pré-requis : 2 cours du S6 sur les Probabilités et la Statistique

Ouvrage de référence : Van der Vaart et Wellner, Asymptotic Statistics, Chapitre 5

Ce sujet a été pris par Cédric Cossi, Omar Khelil et Cameron Jolivet. 

Clustering et applications en traitement d'images couleur

Domaine : Statistique, traitement d'images

Ce projet a pour objectif de vous faire travailler sur des algorithmes de classification non supervisée (détection de sous groupes au sein d'un échantillon) adaptés à des objets multivariés (dans R^p) : kmeans, basés sur une estimation de densité, de profondeur, dé-mélange, … On les utilisera pour segmenter des images couleurs (retrouver des objets au sein d'une phot par exemple...). La mise en œuvre de ces méthodes se fera sous R. Une implémentation sous forme d'application web shiny est envisageable.

Pré-requis : 2 cours du S6 sur les Probabilités et la Statistique

Ce projet a été pris par Vincent Levent, Luc Rabourdin et Cyril Varquet.  

Mémoires proposés par Diarra Fall

Ces projets s'adressent en priorité à des étudiant.e.s désirant poursuivre en master de Maths appliquées/Statistiques

Pré-requis: cours de Statistiques et de Probabilités de L3, connaissances de base du logiciel R.

Inférence non paramétrique sur une densité de probabilité


Vous aborderez en cours de "Statistiques inférentielles" de L3 les notions d'estimation paramétrique et de test d'hypothèses sur un paramètre. Les modèles que vous verrez sont dits paramétriques car le paramètre $\theta$ (à estimer ou sur lequel porte le test d'hypothèses) est de dimension finie. Typiquement, $\theta\in \mathbb{R}^k, k=1,2,..$ On parle de modèle non paramétrique lorsque $\theta$ est infini-dimensionnel  (exemple: une densité de probabilité, une fonction etc.)

L'objectif du projet est d'étudier quelques uns des modèles non paramétriques d'estimation et de tests d'hypothèses et de les mettre en application à des problèmes concrets. On se concentrera en particulier sur un paramètre de densité. On verra comment l'approche non paramétrique peut permettre de répondre aux limitations des approches paramétriques classiques.



Capture-recapture bayésienne

Les modèles de capture-recapture sont des méthodes d'inférence statistique utilisées dans de nombreux problèmes où l'on cherche à estimer la taille (inconnue) N d'une population, à partir d'observations partielles. Ils peuvent être utilisés dans des situations où l'on n'est pas capable d'énumérer tous les individus, et trouvent des applications diverses:
- en écologie et en biologie, pour estimer la taille de populations animales, d'un nombre d'arbres dans une forêt etc.
- en sociologie et en démographie, où l'estimation de la taille de la population est délicate (exemple: sans-abris, prostitués, drogués, migrants illégaux...)
- en finance et marketing (compagnies faisant faillite)
etc.
Dans ces exemples, la taille de la population en entier est inconnue mais des échantillons peuvent en être facilement extraits. Par exemple, on ne peut pas dénombrer le nombre de sans-abris à Paris, mais on peut compter le nombre de sans-abris se présentant à un certain nombre de refuges. La méthode de capture-recapture permet, à partir d'échantillons, de donner une estimation de la taille N de la population

Le but de ce projet est d'appliquer la méthode de capture-recapture à des problèmes concrets, dans un cadre statistique dit bayésien. Ce dernier permet d'introduire une connaissance a priori sur le paramètre à estimer (via la loi a priori) et d'inférer sur la loi a posteriori. Lorsque cette loi a posteriori ne peut être calculée explicitement, on utilise des algorithmes d'approximation (exemples Gibbs). Ce projet permettra aussi d'introduire ces algorithmes.

Ce sujet a été pris par Oualid Noureddine, Revellat Thibault et Trottier Thomas.  

Mémoires proposé par Sandrine Grellier

Différentes méthodes d'accélération de convergence et applications

Ce sujet s'adresse plus particulièrement aux étudiants souhaitant préparer les concours de l'enseignement, le niveau de difficulté est plutôt "capes".

Après avoir défini la vitesse de convergence d'une suite et revu les exemples classiques de convergence (convergence lente, géométrique, quadratique...), on étudiera plusieurs méthodes d'accélération de convergence. On appliquera ensuite ces méthodes à l'approximation de constantes usuelles : Pi, e, constante d'Euler etc...
Il pourra y avoir une implémentation numérique.

Ce sujet a été pris par Nathan Aubry, Raphael Delaporte et Magali Vergne. 

Mémoires proposé par Thomas Haberkorn

Population de la chenille de l'épicéa

Dans ce projet, on s'intéressera à l'évolution de la population de chenilles de l'épicéa qui est un insecte nuisible aux sapins d'Amérique du Nord. Certains oiseaux étant des prédateurs de ces chenilles, on modélise leur population par une équation différentielle ordinaire (EDO) de type logistique avec un terme de prédation. Une étude des solutions de cette EDO en fonction des différents paramètres permettra de mettre en évidence le phénomène de pullulation et son irréversibilité. Une extension vers d'autres modèles de prédation sera également envisageable. Le cours d'EDO ainsi que d'Analyse Numérique (pour les simulations) seront d'une grande aide dans ce projet.

Ce sujet a été pris Benjamin Bourdon, Valentin Legay et Clément Truchat. 


Transfert orbital

Ce projet est dédié à l'étude de certains aspects du problème de transfert orbital d'un satellite. Il s'agit d'un problème de contrôle consistant à faire évoluer, à l'aide d'un moyen de propulsion, la trajectoire d'un satellite d'une orbite initiale à une orbite finale, toutes deux données.

Dans un premier temps, on s'intéressera à la modélisation mathématique de ce problème, qui nous mènera à une équation différentielle dite contrôlée. Une fois correctement formulé, on pourra, au choix, aborder le problème de transfert avec une approche de contrôle, de contrôle optimal ou d'optimisation. Ce projet mènera à une application numérique des techniques développées.
 

Mémoires proposé par Guillaume Havard

Théorème des nombres premiers

Si π(x) désigne le nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à x, le théorème des nombres premiers affirme que l’on a, au voisinage de l’infini : π(x)x/ln(x). C’est un théorème avec une très longue histoire. Conjecturé au XVIIe siècle, une version faible a été démontrée en 1848 par Pafnouti Tchebychev. Bernhard Riemann propose un programme d’étude en 1851 (il s’y est donc intéressé sans pour autant en trouver de preuve ….). C’est Jaques Hadamard et Charles Jean Gustave Nicolas, baron de la Vallée Poussin, qui en proposent indépendamment une preuve en 1896.

Ce mémoire se propose de donner une preuve de ce résultat.

On y retrouvera la fonction de zêta de Riemann, dont il faudra montrer quelques propriétés remarquables. On y effleurera, avec plus ou moins d’insistance selon les envies, les propriétés remarquables des fonctions holomorphes (fonctions dérivables de la variable complexe, un incontournable du programme de l’agrégation).

Contrairement à ce que l’on pourrait croire pas d’arithmétique. C’est un mémoire d’analyse, assez fine et astucieuse, dans lequel on manipulera séries, intégrales et nombres complexes.Le travail pourra s’appuyer sur l’ouvrage de Michèle Audin disponible en ligne Analyse complexe : http://irma.math.unistra.fr/~maudin/analysecomp.pdf

 

(Connaissances utiles : notions de topologie, d’intégration, suites et séries de fonctions, un peu d’analyse complexe ...)

 

Mémoires proposé par Luc Hillairet

Un peu de géométrie intégrale : Buffon, Crofton etc...

En paramétrant soigneusement l'ensemble des droites du plan,
on peut mesurer, par exemple, l'ensemble des droites qui coupent
une courbe donnée. Cette mesure est alors reliée simplement à la longueur de la courbe. Dans ce projet, on propose de comprendre cette approche et de la généraliser à d'autres situations.
 

Mémoires proposé par Magali Ribot

Structures de Turing

Dans ce projet, on s’intéresse à l’apparition de structures de Turing, qui permettrait, entre autres,  de justifer la formation de taches sur les pelages d’animaux. Les structures de Turing  se forment en partant d’un état d’équilibre stable pour un système d’équations différentielles et en le déstabilisant par l’ajout d’un terme de diffusion (terme présent dans l’équation de la chaleur).  On  s’intéressera à un exemple concret de tel système, on étudiera ce phénomène à l’aide des séries de Fourier et on le reproduira numériquement, après avoir compris les différentes méthodes numériques nécessaires à la discrétisation de telles équations, dites de réaction-diffusion.