Soutenance de thèse de Julien WEIBEL

Les graphes sont des objets mathématiques qui servent à modéliser tout type de réseaux, comme les réseaux électriques, les réseaux de communications et les réseaux sociaux. Formellement un graphe est composé d’un ensemble de sommets et d’un ensemble d’arêtes reliant des paires de sommets. Les sommets représentent par exemple des individus, tandis que les arêtes représentent les interactions entre ces individus. Dans le cas d’un graphe pondéré, chaque arête possède un poids ou une décoration pouvant modéliser une distance, une intensité d’interaction, une résistance. La modélisation de réseaux réels fait souvent intervenir de grands graphes qui ont un grand nombre de sommets et d’arêtes. La première partie de cette thèse est consacrée à l’introduction et à l’étude des propriétés des objets limites des grands graphes pondérés : les graphons de probabilités. Ces objets sont une généralisation des graphons introduits et étudiés par Lovász et ses co-auteurs dans le cas des graphes sans poids sur les arêtes. À partir d’une distance induisant la topologie faible sur les mesures, nous définissons une distance de coupe sur les graphons de probabilités. Nous exhibons un critère de tension pour les graphons de probabilités liées à la compacité relative dans la distance de coupe. Enfin, nous prouvons que cette topologie coïncide avec la topologie induite par la convergence en distribution des sous-graphes échantillonnés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous intéressons aux modèles markoviens cachés indexés par des arbres. Nous montrons la consistance forte et la normalité asymptotique de l’estimateur de maximum de vraisemblance pour ces modèles sous des hypothèses standards. Nous montrons un théorème ergodique pour des chaînes de Markov branchantes indexés par des arbres avec des formes générales. Enfin, nous montrons que pour une chaîne stationnaire et réversible, le graphe ligne est la forme d’arbre induisant une variance minimale pour l’estimateur de moyenne empirique parmi les arbres avec un nombre donné de sommets.