Soutenance de thèse de Mohammad Hussein HARAKEH

Ce manuscrit traite de deux sujets qui convergent vers une idée : l'utilisation des méthodes spectrales en géométrie sous-riemannienne. Tout d'abord, nous étudions la validité des inégalités de concentration pour les fonctions propres de l'opérateur généralisé de Baouendi-Grushin sur un cylindre infini. Nous démontrons que généralement, les valeurs propres de l'opérateur de Baouendi-Grushin ont une multiplicité de 2, que nous prouvons être une condition suffisante pour la validité de l'inégalité de concentration. Ensuite, nous étudions les structures sous-riemanniennes en les approximant par des structures riemanniennes. Nous introduisons un schéma d'approximation et prouvons qu'il induit une forme de volume qui coïncide - à une constante près - avec le volume de Popp. Nous démontrons ensuite que le spectre de la famille des Laplaciens riemanniens associés au schéma d'approximation converge vers le spectre du sous-Laplacien.