Soutenance de thèse de Rita NADER

On considère des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) lentement dépendantes du temps soumis à un bruit blanc espace-temps. Ces EDPS ne sont pas toujours bien posées. On montre que sur le tore de dimension une, ce problème n'apparait pas. On s'intéresse à des EDPS soumises aussi à un forçage périodique en temps. Ce dernier s'annule en trois branches d'équilibres dont deux stables et une instable, qui s'approchent l'une de l'autre à un certain temps. On décrit l'effet de la résonance stochastique sur le système. On montre l'existence d'une intensité de bruit critique dépendante de la période du forçage et de la distance minimale entre les branches d'équilibres. Pour une intensité de bruit inférieure à l'intensité seuil, la probabilité que les solutions de l'EDPS passent d'un équilibre stable à l'autre est exponentiellement petite, tandis que ces transitions ont lieu avec une probabilité exponentiellement proche de $1$ pour des intensités de bruit plus grandes. Les estimées de concentration des solutions sont données dans des normes de Sobolev. D'un autre côté, sur le tore de dimension deux, les EDPS ne sont pas bien définis et une renormalisation au sens de Wick est nécessaire pour définir une solution de l'équation. On donne des estimées de concentration des solutions dans des normes de Bessov et H"older et on montre qu'elles sont concentrées avec grande probabilité près de la branche d'équilibre stable. Ensuite, on discute le cas où le système s'approche d'une bifurcation fourche ou un phénomène intéressant à lieu: le retard à la bifurcation. Les résultats obtenus sont une généralisation à une dimension inifine de résultats obtenues pour des EDS en dimension finie.